선형대수코드_CH4

4-1

A=Matrix([[6,2,3,5,0],[4,0,2,6,4],[-2,0,-1,-3,-2],[4,1,2,2,-1]])
print(A)
Matrix([[6, 2, 3, 5, 0], [4, 0, 2, 6, 4], [-2, 0, -1, -3, -2], [4, 1, 2, 2, -1]])
A.rref()
(Matrix([[1, 0, 1/2, 0, -1/2],
        [0, 1, 0, 0, -1],
        [0, 0, 0, 1, 1],
        [0, 0, 0, 0, 0]]),
        (0, 1, 3))

S=A[:,[0,1,3]]
print(S)
Matrix([[6, 2, 5], [4, 0, 6], [-2, 0, -3], [4, 1, 2]])

S.columnspace()
[Matrix([[ 6],
        [ 4],
        [-2],
        [ 4]]),
   Matrix([[2],
        [0],
        [0],
        [1]]),
   Matrix([[ 5],
        [ 6],
        [-3],
        [ 2]])]
S.nullspace()
[]

4-3(c)

a, b, c, d, t=symbols('a b c d t')
A=Matrix([t**2+2,2*t**2-t+1,t+2, t**2+t+4])
print(A)
Matrix([[t**2 + 2], [2*t**2 - t + 1], [t + 2], [t**2 + t + 4]])

B=Matrix([[a],[b],[c],[d]])
AB=A.T*B
print(AB)
Matrix([[a*(t**2 + 2) + b*(2*t**2 - t + 1) + c*(t + 2) + d*(t**2 + t + 4)]])

AB2=collect(expand(AB[0]), t)
print(AB2)
2*a + b + 2*c + 4*d + t**2*(a + 2*b + d) + t*(-b + c + d)

print(AB2.coeff(t, 2))
a + 2*b + d

print(AB2.coeff(t, 1))
-b + c + d

print(AB2.coeff(t,0))
2*a + b + 2*c + 4*d

coef=Matrix([[1,2,0,1],[0,-1, 1,1], [2, 1, 2, 4]])
print(coef)
Matrix([[1, 2, 0, 1], [0, -1, 1, 1], [2, 1, 2, 4]])

coef.rref()
(Matrix([[1, 0, 0, 1],
        [0, 1, 0, 0],
        [0, 0, 1, 1]]),
        (0, 1, 2))

다항식 집합들 중 기저는 3개이므로 3차원입니다.

4-4

이 문제의 집합 S의 각 다항식은 t⁴, t³, t², t, 1에 대한 계수행렬의 형식으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1 & 2 & 2\\2 & 1 & 0 & 1 & 2\\1 & 1 & -1 & -1 & 0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}t^4\\t^3\\t^2\\t\\1\end{matrix}\right]$

위 계수행렬에서 기저를 발견하는 것은 그 행렬의 피벗열을 찾는 것입니다. 계수행렬을 A라고 하면 다음과 같습니다.

A=Matrix([[1,0,1,2,1],[1,0,1,2,2],[2,1,0,1,2],[1,1,-1,-1,0]])
print(A)
Matrix([[1, 0, 1, 2, 1],
        [1, 0, 1, 2, 2],
        [2, 1, 0, 1, 2],
        [1, 1, -1, -1, 0]])

A.rref()
(Matrix([[1, 0, 1, 2, 0],
        [0, 1, -2, -3, 0],
        [0, 0, 0, 0, 1],
        [0, 0, 0, 0, 0]]),
        (0, 1, 4))

위 결과로 부터 A 행렬 중 3개의 열벡터가 기저임을 알 수 있습니다. 이 결과는 A의 열공간과 같습니다.

A.columnspace()
[Matrix([[1],[1],[2],[1]]),
   Matrix([[0],[0],[1],[1]]),
   Matrix([[1],[2],[2],[0]])]

4-5

5. 다음 행렬 A에 대해 (a)와 (b)를 답하세요.

x1, x2, x3, x4=symbols('x1, x2, x3, x4')
A=Matrix([[1,1,1,1],[1,1,2,2],[2,2,3,3]])
X=Matrix(4,1, [x1, x2, x3, x4])
A
$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 2 & 2\\2 & 2 & 3 & 3\end{matrix}\right]$

X
$\left[\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{matrix}\right]$

C=Matrix(3,1, [0,0,0])
C
$\left[\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}\right]$

(a)Ax=0의 해와 그 해공간의 기저?

au=A.row_join(C)
au
$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 0\\1 & 1 & 2 & 2 & 0\\2 & 2 & 3 & 3 & 0\end{matrix}\right]$

au.rref()
(Matrix([[1, 1, 0, 0, 0],
        [0, 0, 1, 1, 0],
        [0, 0, 0, 0, 0]]),
        (0, 2))

선도변수 0, 2 열, 자유변수 1, 3 열이므로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$\begin{align}x_1&=-x_2\\x_3&=-x_4\end{align}$
즉, 다양한 해 존재

sol=X.subs({x1:-x2, x3:-x4})
sol
$\left[\begin{matrix}- x_{2}\\x_{2}\\- x_{4}\\x_{4}\end{matrix}\right]$

$\left[\begin{matrix}- x_{2}\\x_{2}\\- x_{4}\\x_{4}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0&-1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&0&1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{matrix}\right]$
위 식의 계수행렬에 대한 기저를 계산해 보면 다음과 같습니다.

sol1=Matrix([[0,-1,0,0],[0,1,0,0],[0,0,0,-1],[0,0,0,1]])
sol1.rref()
(Matrix([[0, 1, 0, 0],
        [0, 0, 0, 1],
        [0, 0, 0, 0],
        [0, 0, 0, 0]]),
(1, 3))

결과적으로 (1, 3)열이 기저이며 이것은 위 계수행렬의 열공간과 같습니다.

sol1.columnspace()
[Matrix([[-1],[ 1],[ 0],[ 0]]),
   Matrix([[ 0],[ 0],[-1],[ 1]])]

(b) Ax=b (b는 3차원)은 해를 가집니까?

b1,b2,b3=symbols("b1 b2 b3")
b=Matrix(3,1, [b1, b2, b3])
b
$\left[\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{matrix}\right]$

위 행렬 b는 다음과 같이 나타낼수 있습니다.
$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{matrix}\right]$
그러므로 Ax=b는 다음과 같이 정리됩니다.
$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 2 & 2\\2 & 2 & 3 & 3\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{matrix}\right]$

au_b=A.row_join(Matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]))
au_b
$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\1 & 1 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0\\2 & 2 & 3 & 3 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$
au_b=A.row_join(b)
au_b
$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & b_{1}\\1 & 1 & 2 & 2 & b_{2}\\2 & 2 & 3 & 3 & b_{3}\end{matrix}\right]$
au_b.rref()
(Matrix([[1, 1, 0, 0, 0],
        [0, 0, 1, 1, 0],
        [0, 0, 0, 0, 1]]),
        (0, 2, 4))

위 결과에서 2행은 성립할 수 없습니다. 그러므로 Ax=b의 해는 존재하지 않습니다.

4_6

0벡터는 포함하는 모든 집합은 선형 종속이므로 부분공간의 기저가 될 수 없습니다.

4_7

다음 행렬 A의 열공간과 영공간?
$\left[\begin{matrix}-3 & 5 & -22 & 5 & -49\\-6 & 13 & -59 & 10 & -107\\-6 & 4 & -14 & 15 & -105\end{matrix}\right]$

A=Matrix([[-3, 5, -22, 5, -49],[-6, 13, -59, 10, -107],[-6, 4, -14, 15, -105]])
A.rref()
(Matrix([[1, 0, -1, 0, 3],
        [0, 1, -5, 0, -3],
        [0, 0, 0, 1, -5]]),
        (0, 1, 3))

A.columnspace()
[Matrix([[-3],
        [-6],
        [-6]]),
   Matrix([[ 5],
        [13],
        [ 4]]),
   Matrix([[ 5],
        [10],
        [15]])]

A.nullspace()
[Matrix([[1],
         [5],
         [1],
         [0],
         [0]]),
   Matrix([[-3],
        [ 3],
        [ 0],
        [ 5],
  [ 1]])]

위의 A의 기약행사다리꼴로부터 0, 1, 3 열이 피벗열이 되며 나머지 2, 4열은 자유변수를 포함하는 것으로 x3, x4가 자유변수가 됩니다. 그러므로 A의 영공간(해공간)은 이 두 변수에 따라 매우 다양합니다.
$\begin{align}x_1&=x_3-3x_5\\x_2&=5x_3+3x_5\\x_4&=5x_5\end{align}$
위 해집합을 행렬식으로 정리하면 다음과 같습니다.
$\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & -1\\0 & 0 & 5 & 0 & 3\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 5\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{matrix}\right]$

$S=\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & -1\\0 & 0 & 5 & 0 & 3\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 5\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$

A에 의한 해 집합은 R⁵ 공간에서 행렬 S와의 선형결합이 성립됩니다. 이 부분의 열공간이 A의 영공간이 됩니다.

S=Matrix([[0,0,1,0,-1],[0,0,5,0,3],[0,0,1,0,0],[0,0,0,0,5],[0,0,0,0,1]])
latex(S.rref())
$\left( \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right], \ \left( 2, \ 4\right)\right)$

latex(S.columnspace())
$\left[ \left[\begin{matrix}1\\5\\1\\0\\0\end{matrix}\right], \ \left[\begin{matrix}-1\\3\\0\\5\\1\end{matrix}\right]\right]$

4_8

x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=0의 부분공간을 위한 기저?

위 식의 해는 각 변수에 상호 의존관계입니다. 예를들어 $x_1 = -x_2-x_3-x_4-x_5$로 x₁의 경우 나머지 변수들의 값에 의해 결정됩니다. 물론 변수 역시 동일합니다. 이 관계를 행렬 형태로 나타내보면 다음과 같습니다.

$\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-x_2-x_3-x_4-x_5\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{matrix}\right]$

위 식의 우항에 대한 표준행렬 A는 다음과 같습니다.

$A=\left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & -1 & -1\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$

S의 columnspace가 기저가 됩니다. 다시말하면 S의 기약행사다리꼴에서의 피벗열이 기저가 됩니다.

A=diag(1,1,1,1,1)
A[0,0]=0
for i in range(1, 5):
A[0, i]=-1
A
$\left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & -1 & -1\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$

latex(A.rref())
$\left( \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right], \ \left( 0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4\right)\right)$

latex(A.columnspace())
$\left[ \left[\begin{matrix}-1\\1\\0\\0\\0\end{matrix}\right],\; \left[\begin{matrix}-1\\0\\1\\0\\0\end{matrix}\right], \; \left[\begin{matrix}-1\\0\\0\\1\\0\end{matrix}\right], \; \left[\begin{matrix}-1\\0\\0\\0\\1\end{matrix}\right]\right]$

CalculusEasyMade_CH15

15_1

$\int \sqrt{a^{2} - x^{2}}\;dx$?
이 함수의 적분을 위해 부분적분과 치환적분을 적용합니다. (예 5 참조)
$u=\sqrt{a^{2} - x^{2} , \qard du=dx$

a, x, u=symbols('a x u', positive=True)
y=sqrt(a**2-x**2)
y
$\sqrt{a^{2} - x^{2}}$
u1=y
du=diff(x, x)
du
1

r1=u1*integrate(du, x)-diff(u1, x)*integrate(du, x)
r1
$\frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} + x \sqrt{a^{2} - x^{2}}$

위 마지막 결과의 첫번 째항을 적분하기 위해 다음과 같이 정리하여 실시합니다.
$\begin{align}\frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}&=-\frac{-a^2+a^2-x^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}\\&=\frac{a^2}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}-\frac{a^2-x^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}\\ &=\frac{a^2}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}-{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}\end{align}$
위 최종 정리된 항의 첫 번째식의 적분은 $x=asin(\theta)$로 치환하여 실시하면 다음과 같습니다.

integrate(a**2/sqrt(a**2-x**2), x)
$a^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{a} \right)}$

또한 두번째 항은 원래의 적분항과 같습니다. 이를 고려하면 최종 결과는 다음과 같습니다.

(integrate(a**2/sqrt(a**2-x**2), x)+x*sqrt(a**2-x**2))/2
$\frac{a^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{a} \right)}}{2} + \frac{x \sqrt{a^{2} - x^{2}}}{2}$
integrate(y, x)

$\frac{a^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{a} \right)}}{2} + \frac{x \sqrt{a^{2} - x^{2}}}{2}$

15_2

x=symbols('x', positive=True)
y=x*log(x)
y
xlog(x)
u1=log(x)
dv1=x*diff(x, x)
r1=u1*integrate(dv1, x)-integrate(diff(u1, x)*integrate(dv1, x), x)
r1
$\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$

integrate(x*log(x), x)
$\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$

15_3

$\int x^alog_e(x)\;dx$ ?

a, x=symbols('a x', positive=True)
y=x**a*log(x)
y
xalog(x)

u=log(x)
dv=x**a*diff(x, x)
dv
xa

r=u1*integrate(dv, x)-integrate(diff(u, x)*integrate(dv, x), x)

r
$- \frac{x x^{a}}{\left(a + 1\right)^{2}} + \frac{x^{a + 1} \log{\left(x \right)}}{a + 1}$

factor(r)
$\frac{x x^{a} \left(a \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(a + 1\right)^{2}}$

factor(integrate(y, x))
$\frac{x x^{a} \left(a \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(a + 1\right)^{2}}$

15_4

$\int e^xcos(e^x) dx$ ?
$u=e^x, du=e^x dx \rightarrow \int cos(u) du$

a, x=symbols('a x', positive=True)
y=exp(x)*cos(exp(x))
y
$e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)}$

u1=exp(x)
du=diff(u1, x)
du
e^x

u=symbols('u', real=True)
y1=cos(u)
int_y1=integrate(y1, u)
int_y1
sin(u)

int_y1.subs(u, u1)
sin(e^x)

int_y=integrate(exp(x)*cos(exp(x)), x)
int_y
sin(e^x)

15_5

a, x=symbols('a x', positive=True)
y=1/x*cos(log(x))
y
$\frac{cos(log(x))}{x}$
u1=log(x)
du=diff(u1, x)
du
$\frac{1}{x}$
u=symbols('u', real=True)
y1=cos(u)
int_y1=integrate(y1, u)
int_y1
sin(u)
int_y1.subs(u, u1)
sin(log(x))
int_y=integrate(y, x)
int_y
sin(log(x))

15_6

$\begin{align}\int x^2e^xdx &=x^2\int e^xdx-\int \left((x^2)\prime \int e^x dx \right)\\ &= x^2e^x-2\int xe^x dx\end{align}$
위 결과의 마지막 항에 다시 부분적분을 적용합니다.
$\begin{align}\int xe^xdx &=x\int e^xdx-\int \left((x)\prime \int e^x dx \right)\\ &= xe^x-\int e^x dx\\ &= xe^x- e^x\end{align}$
위 두 결과를 합하면 다음과 같습니다.
$\int x^2e^xdx =x^2e^x-2(xe^x- e^x)$

a, x=symbols('a x', positive=True)
y=x**2*exp(x)
y
x²e^x
integrate(y, x)
(x²−2x+2)e^x

15_7

a, x=symbols('a x', positive=True)
y=(log(x)**a/x)
y
\frac{\log{\left(x \right)}^{a}}{x}

u1=log(x)
du1=diff(log(x))
du1
$\frac{1}{x}$

u=symbols('u', real=True)
y1=u**a
int_y1=integrate(y1, u)
int_y1
$\frac{u^{a + 1}}{a + 1}$

int_y1.subs(u, u1)
$\frac{\log{\left(x \right)}^{a + 1}}{a + 1}$

integrate(y, x)
$\frac{\log{\left(x \right)}^{a + 1}}{a + 1}$

15_8

a, x=symbols('a x', positive=True)
y=1/(log(x)*x)
y
$\frac{1}{xlog(x)}$

u1=log(x)
du1=diff(log(x))
du1
$\frac{1}{x}$

u=symbols('u', real=True)
y1=1/u
int_y1=integrate(y1, u)
int_y1
log(u)

int_y1.subs(u, u1)
log(log(x))

integrate(y, x)
log(log(x))

15_9

a, x=symbols('a x', positive=True)
y=(5*x+1)/(x**2+x-2)
y
$\frac{5 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

y1=apart(y)
y1
$$\frac{3}{x+2}+\frac{2}{x-1}$

integrate(3/(x+2), x)+integrate(2/(x-1), x)
2log(x−1)+3log(x+2)

integrate(y, x)
2log(x−1)+3log(x+2)

15_10

a, x=symbols('a x', positive=True)
y=(x**2-3)/(x**3-7*x+6)
y
$\frac{x^{2} - 3}{x^{3} - 7 x + 6}$

y1=apart(y, full=True)
y1
$\frac{3}{10 \left(x + 3\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)} + \frac{1}{5 \left(x - 2\right)}$

integrate(3/(10*(x+2)), x)+integrate(1/(2*(x-1)), x)+integrate(1/(5*(x-2)), x)
$\frac{\log{\left(2 x - 2 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(5 x - 10 \right)}}{5} + \frac{3 \log{\left(10 x + 20 \right)}}{10}$

integrate(y, x)
$\frac{\log{\left(2 x - 2 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(5 x - 10 \right)}}{5} + \frac{3 \log{\left(10 x + 20 \right)}}{10}$

15_11

a, b, x=symbols('a b x', positive=True)
y=(b/(x**2-a**2))
y
$\frac{b}{- a^{2} + x^{2}}$

y1=apart(y, x)
y1
$- \frac{b}{2 a \left(a + x\right)} + \frac{b}{2 a \left(- a + x\right)}$

integrate(-b/(2*a*(a+x)), x)+integrate(b/(2*a*(x-a)), x)
$ \frac{b \log{\left(- 2 a^{2} + 2 a x \right)}}{2 a} - \frac{b \log{\left(2 a^{2} + 2 a x \right)}}{2 a}$

integrate(y, x)
$b \left(\frac{\log{\left(- a + x \right)}}{2 a} - \frac{\log{\left(a + x \right)}}{2 a}\right)$

12

13

14

CalculusEasyMade_CH14

14_1

x=symbols("x")
y=x**2+x-5
integrate(y, (x, 0, 6))
60

밑면이 6이고 면적이 10이므로 평균 높이(세로축)은 다음과 같습니다.

$\frac{60}{6}=10$

14_2

a, x=symbols("a, x")
y=2*a*sqrt(x)
Ar_Int=integrate(y, (x, 0, a))
Ar_Int
$\frac{4 a^{\frac{5}{2}}}{3}$
Ar_sq=a*y.subs(x, a)
Ar_sq
$2a^{\frac{5}{2}}$
Ar_Int/Ar_sq
$\frac{2}{3}$

14_3

x>0와 세로축(y), 함수 sin(x)으로 둘러쌓인 부분의 x는 [0, $\frac{\pi}{2}$]의 범위입니다. 그러므로 이 부분에서 함수에 의한 면적은 다음과 같이 함수의 정적분으로 계산할 수 있습니다.

a, x=symbols("a, x")
y=sin(x)
Ar_Int=integrate(y, (x, 0, pi/2))
Ar_Int
1

지정한 총부분은 밑면의 길이가 $\frac{\pi}{2}$, 높이가 1인 사각형이므로 이 면적은 다음과 같습니다.

Ar_sq=1*pi/2
Ar_sq
$\frac{\pi}{2}$

그러므로 지정한 면적은 사각형의 면적에서 함수에 의한 면적을 제외합니다.

Area=Ar_sq-Ar_Int
Area
$\frac{\pi}{2}-1$

14_4

x축 [0, 1]의 구간에서
면적 = ($x^2+x^{\frac{5}{2}}$에 의한 적분 − $x^2)-(x^{\frac{5}{2}}$에 의한 적분)

x=symbols("x")
y1=x**2+x**(5/2)
y2=x**2-x**(5/2)
A=integrate(y1, (x, 0, 1))-integrate(y2, (x, 0, 1))
A
0.571428571428571

14_5

다음 그림은 $y=-\frac{h}{r}x+h$의 직선을 y축을 기준으로 회전시킨 결과로 원뿔이 생성됩니다. 이 경우 x값이 원의 반지름이 되고 y값이 높이가 됩니다.

x축의 값 즉, r이 원의 반지름이 되며 생성되는 r에 따라 생성되는 원을 높이 h까지 쌓아 올린 형태가 됩니다. 그러므로 이 원 뿔의 부피는 $\pir^2$을 [0, h]구간에서의 정적분의 결과가 됩니다. 위의 그림과 같이 회전을 위한 직선의 방정식을 x에 관해 정리하는 것으로 시작합니다. 

x, y, r, h=symbols("x y r h")
eq1=y
eq2=-(h/r)*x+h
eq3=Eq(eq1,eq2)
eq3
$y = h - \frac{h x}{r}$
eq4=solve(eq3, x)
eq4
[r*(h - y)/h]
integrate(eq4[0]**2*pi, (y, 0, h))
$\frac{\pi h r^{2}}{3}$

14_6

다음 그래프와 같이 구간 [0,1]사이에 함수의 y=0인 지점이 포함됩니다. 그러므로 이 구간의 면적은 A, B 구간으로 구분하여 적분합니다.

x=symbols("x")
y=x**3+log(x)
y0=solve(y, x)
y0
[exp(-LambertW(3)/3)]
p=N(y0[0])
p
0.704709490254913
A=integrate(y, (x, 0, p))
A
−0.889679680800965
B=integrate(y, (x, p, 1))
B
0.139679680800965
Area=abs(A)+B
Area
1.02935936160193

14_7

다음 그림과 같이 함수 y를 x축을 중심으로 회전하는 경우 반지름 y인 원이 생성됩니다. 그 회전체의 표면적으로 구하기 위해 그 원의 원주를 [0, 4] 구간으로 정적분 합니다.

x=symbols("x")
y=sqrt(1+x**2)
A=2*pi*y
SA=integrate(A, (x, 0, 4))
SA
$2 \pi \left(\frac{\operatorname{asinh}{\left(4 \right)}}{2} + 2 \sqrt{17}\right)$
N(SA, 3)
58.4

14_8

x=symbols('x', real=True)
y=3.42*exp(0.21*x)
A=integrate(y, (x, 2, 8))
A
62.5956804810544

14_9

$y=\pm \frac{x}{6}\sqrt{x(10-x)}$
위 함수의 경우 제곱근내의 수는 양수이어야 합니다. 그러므로 다음과 같이 x의 범위가 지정됩니다.
$\sqrt{x(10-x)}\ge 0 \rightarrow 0 ≤ x ≤ 10$
이 조건의 곡선의 그래프는 다음과 같으며 이 곡선을 x축을 기준으로 회전시키는 경우 1사분면 또는 4사분면에 위치한 곡선중 하나만을 고려합니다.

이 곡선을 회전시킨 결과는 다음 그래프와 같습니다.

x=symbols('x', real=True)
solve(sqrt(x*(10-x))≥0, x)
0 ≤ x ∧ x ≤10 #
y=x/6*sqrt(x*(10-x))
V1=integrate(pi*y**2, (x, 0, 10))
V1
$\frac{1250 \pi}{9}$
y2=-x/6*sqrt(x*(10-x))
V2=integrate(pi*y**2, (x, 0, 10))
V2
$\frac{1250 \pi}{9}$
N(V1, 5)
436.33

CalculusEasyMade_CH13

13_1(1)

$\frac{2}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+\cdots$

tot=2/3
init=3
for i in range(10):
 tot = tot+1/(init)
 init= init*2
tot
1.3326822916666667

tot=2/3
init=3
for i in range(30):
 tot = tot+1/(init)
 init= init*2
tot
1.3333333327124517

tot=2/3
init=3
for i in range(100):
 tot = tot+1/(init)
 init= init*2
tot
1.3333333333333333

13_2

2. 함수 log_e(1+x)가 다음과 같다면 log_e1.3을 계산하세요.
$log_e(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+ \cdots$

tot=0.3
for i in range(2, 10):
 tot = tot+(-1)**(i-1)*0.3**i/i
tot
0.2623647286071428

log(1.3)
0.262364264467491

3_3

(1)

x=symbols('x', real=True)
y=integrate(Rational('1/4')*x)
y
$\frac{x^{2}}{8}$

$\frac{x^{2}}{8}+c$

(2)

y=integrate(cos(x), x)
y
sin(x)

sin(x)+c

(3)

y=integrate(2*x+3)
y
x²+3x

x²+3x+c

(4)

a, b, c, x=symbols('a b c x', real=True)
y=integrate(a*x/2+b*x**2/3+c*x**3/4, x)
y
$\frac{a x^{2}}{4} + \frac{b x^{3}}{9} + \frac{c x^{4}}{16}$

$\frac{a x^{2}}{4} + \frac{b x^{3}}{9} + \frac{c x^{4}}{16}+c$

13_4

(5)

다음 함수는 분수 형태로서 분모에 적분 변수를 포함하고 있습니다. 이러한 경우 분모를 간단히 하기 위해 분모 u=x+a로 치환하여 함수를 수정한 후에 적분할 수 있습니다. 이러한 치환적분에 의한 결과는 함수를 직접 계산한 결과와 상수항에 차이를 보입니다. 그러나 부정적분의 경우 최종 결과에 임의의 상수를 고려해주며 그 상수는 적분 계산에 영향을 주지 않으므로 무시할 수 있습니다.

a, x=symbols('a x', real=True)
y=(x**2+a)/(x+a)
integrate(y, x)
$- a x + a \left(a + 1\right) \log{\left(a + x \right)} + \frac{x^{2}}{2}$
u=symbols('u', real=True)
#u=x+a
y1=y.subs(x, u-a)
y1
$\frac{a + \left(- a + u\right)^{2}}{u}$
int_u=integrate(y1, u)
int_u
$- 2 a u + a \left(a + 1\right) \log{\left(u \right)} + \frac{u^{2}}{2}$
int_u.subs(u, x+a)
$a \left(a + 1\right) \log{\left(a + x \right)} - 2 a \left(a + x\right) + \frac{\left(a + x\right)^{2}}{2}$

(9)

th=symbols('theta', real=True)
y=(sin(th)-Rational('1/2'))*Rational('1/3')
integrate(y, th)
$- \frac{\theta}{6} - \frac{\cos{\left(\theta \right)}}{3}$

y1=Rational('1/3')*sin(th)-Rational('1/3')*Rational('1/2')
y1
$\frac{\sin{\left(\theta \right)}}{3} - \frac{1}{6}$

integrate(y1, th)
$ - \frac{\theta}{6} - \frac{\cos{\left(\theta \right)}}{3}$

(13)

3x=u로 치환하여 적분할 수 있습니다. 다음과 같이 동일한 결과를 보입니다.

x=symbols('x', real=True)
y=exp(3*x)
integrate(y, x)
$\frac{e^{3 x}}{3}$

u=symbols('u', real=True)
#u=3x
dx=diff(u/3, u)
dx
$frac{1}{3}$

integrate(exp(u)*dx, u).subs(u, 3*x)
$\frac{e^{3 x}}{3}$

(15)

x=symbols('x', real=True)
y=1/(1-x)
integrate(y, x)
−log(x−1)

u=symbols('u', real=True)
#u=1-x
dx=diff(1-u, u)
dx
−1

integrate((1/u)*dx, u).subs(u, 1-x)
−log(1−x)

CalculusEasyMade_CH12

1

x, y=symbols('x y', real=True)
eq=x**3/3-2*x**3*y-2*y**2*x+y/3
eq
$- 2 x^{3} y + \frac{x^{3}}{3} - 2 x y^{2} + \frac{y}{3}$

deqdx=diff(eq, x)
deqdx
$- 6 x^{2} y + x^{2} - 2 y^{2}$

deqdy=diff(eq, y)
deqdy
$- 2 x^{3} - 4 x y + \frac{1}{3}$

3

$r^{2}= \left(- a + x\right)^{2} + \left(- b + y\right)^{2} +\left(- c + z\right)^{2}$

a, b, c, r, x, y, z=symbols('a b c r x y z', real=True)
eq=r**2-((x-a)**2+(y-b)**2+(z-c)**2)
eq
$r^{2} - \left(- a + x\right)^{2} - \left(- b + y\right)^{2} - \left(- c + z\right)^{2}$

deqdx=idiff(eq, r, x)
deqdx
$\frac{- a + x}{r}$

deqdy=idiff(eq, r, y)
deqdy
$\frac{- b+y}{r}$

deqdz=idiff(eq, r, z)
deqdz
$\frac{- c+z}{r}$

deqdx+deqdy+deqdz
$\frac{- a + x}{r} + \frac{- b + y}{r} + \frac{- c + z}{r}$

diff(deqdx, x)+diff(deqdy, y)+diff(deqdz, z)
$\frac{3}{r}$

5_a

u, v=symbols('u v', real=True)
y=u**3*sin(v)
y
u³sin(v)

dydu=diff(y, u)
dydu
3u²sin(v)

dydv=diff(y, v)
dydv
u³cos(v)

dy=dydu+dydv
dy
u³cos(v)+3u²sin(v)

위 결과를 보다 자세히 나타내면 다음과 같습니다.
u³cos(v)⋅⋅du+3u²sin(v)⋅dv

5_b

x, u=symbols('x u', real=True)
y=(sin(x))**u
y
$ \sin^{u}{\left(x \right)}$

dydu=diff(y, u)
dydu
log(sin(x))sin^u(x)

dydx=diff(y, x)
dydx
$\frac{u \sin^{u}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

dy=dydx+dydu
dy
$\frac{u \sin^{u}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin^{u}{\left(x \right)}$

5_c

u, v=symbols('u v', real=True)
y=log(u)/v
y
$\frac{log(u)}{v}$

dydu=diff(y, u)
dydu
$\frac{1}{uv}$

dydv=diff(y, v)
dydv
$−\frac{log(u)}{v^2}$

dy=dydu+dydv
dy
$ - \frac{\log{\left(u \right)}}{v^{2}} + \frac{1}{u v}$

7

x, y=symbols('x y', real=True)
u=x+2*x*y+y
u
2xy+x+y

dudx=diff(u, x)
dudx
2y+1

sol_x=solve(dudx)
sol_x
[-1/2]

dudy=diff(u, y)
dudy
2x+1

u.subs({x:-1/2, y:-1/2})
−0.5

u.subs({x:0, y:0})
0

u.subs({x:-1, y:-1})
0

위 결과와 같이 (x, y)=($-\frac{1}[2}, \frac{1}[2})에서 극소값 -0.5를 갖습니다.

10

x, y=symbols('x y', real=True)
u=exp(x+y)/(x*y)
u
$ \frac{e^{x + y}}{x y}$
dudx=diff(u, x)
dudx
$\frac{e^{x + y}}{x y} - \frac{e^{x + y}}{x^{2} y}$
sol_x=solve(dudx, x)
sol_x
[1]
diff(dudx, x).subs(x, 1)
$\frac{e^{y + 1}}{y}$
dudy=diff(u, y)
dudy
$\frac{e^{x + y}}{x y} - \frac{e^{x + y}}{x y^{2}}$
sol_y=solve(dudy, y)
sol_y
[1]
diff(dudy, y).subs(y, 1)
$\frac{e^{x + 1}}{x}$

x=1, y=1 에서 극값이 존재하면 x,y의 부호에 따라 극대값 또는 극소값이 결정됩니다.

Calculas Easy Made_CH11

11-2

a.$y=ASin(\theta-\frac{\pi}{2})$

A, th=symbols("A theta")
y=A*sin(th-pi/2)
y
−Acos(𝜃)

dydth=y.diff(th)
dydth
Asin(𝜃)

b.$y=sin^2(\theta)$

y=sin(th)**2
y.diff(th)
2sin(𝜃)cos(𝜃)

c.$y=sin(2\theta)$

y=sin(2*th)
y.diff(th)
2cos(2𝜃)

d.$y=sin^3(\theta)$

y=sin(th)**3
y.diff(th)
3sin2(𝜃)cos(𝜃)

e.$y=sin(3\theta)$

y=sin(3*th)
y.diff(th)
3cos(3𝜃)

11-2

sin(θ)·cos(θ)가 극대가 되는 θ를 발견하시오.

theta=symbols('theta')
y=sin(theta)*cos(theta)
dy=diff(y, theta)
dy
−sin2(θ)+cos2(θ)

m=solve(dy)
m
[-3*pi/4, -pi/4, pi/4, 3*pi/4]

ddy=diff(y, theta, 2)
ddy
−4sin(θ)cos(θ)

sign={}
for i in sol:
 sign[i]=dy2dth.subs(th, i)
sign
{-3*pi/4: -2, -pi/4: 2, pi/4: -2, 3*pi/4: 2}

print(f'최대값: {y.subs(th, pi/4)}')
최대값: 1/2

print(f'최소값: {y.subs(th, 3*pi/4)}')
최소값: -1/2

11-3

n, t=symbols("n t")
y=cos(2*pi*n*t)/(2*pi)
y
$\frac{\cos{\left(2 \pi n t \right)}}{2 \pi}$

y.diff(t)
$- n \sin{\left(2 \pi n t \right)}$

11-4

# 4
a, x=symbols("a, x")
y=sin(a**x)
y
sin(a^x)

y.diff(x)
a^xlog(a)cos(a^x)

11-5

x=symbols("x")
y=log(cos(x))
y
log(cos(x))

y.diff(x)
$−\frac{sin(x)}{cos(x)}

u=symbols('u')
u1=cos(x)
v=log(u)
dudx=u1.diff(x)
dudx
−sin(x)

dvdu=v.diff(u)
dvdu
$\frac{1}{u}$

dvdu=dvdu.subs(u, u1)
dvdu
$\frac{1}{cos(x)}$

dvdx=dvdu*dudx
dvdx
$−\frac{sin(x)}{cos(x)}$

11-6

x=symbols('x')
y=18.2*sin(x+26)
y
18.2sin(x+26)
y.diff(x)
18.2cos(x+26)

11-7

y = 100sin(θ − 15°)의 그래프를 작성하고 θ=75°에서 최대 기울기의 절반임을 보이시오.

sympy 등 python에서 사용되는 삼각함수에 관련된 대부분의 함수는 각도(degree)가 아닌 라디안(radian)이 적용됩니다. 그러므로 이 문제의 각도를 라디안으로 전환하여야 합니다.

a, b=np.deg2rad(15), np.deg2rad(75)
a, b
(0.2617993877991494, 1.3089969389957472)

th=symbols('theta')
y=100*sin(th-a)
y
100sin(θ−0.261799387799149)

#문제는 그래프의 기울기에 대한 것이므로 sl이 기준이 됩니다.
sl=y.diff(th)
sl
100cos(θ−0.261799387799149)

sol=solve(sl.diff(th), th)
sol
[0.261799387799149, 3.40339204138894]

dsl2dth=sl.diff(th, 2)
sign={}
val={}
for i in sol:
 sign[i]=dsl2dth.subs(th, i)
 val[i]=sl.subs(th, i)
sign
{0.261799387799149: -100.000000000000, 3.40339204138894: 100.000000000000}

val
{0.261799387799149: 100.000000000000, 3.40339204138894: -100.000000000000}

sl.subs(th, b)#75도에서의 기울기: 최대 100의 반
50.0

11-8

th=symbols('theta')
y=sin(th)*cos(2*th)
y
sin(θ)cos(2θ)

y.diff(th)
−2sin(θ)sin(2θ)+cos(θ)cos(2θ)

11-9

a, m, n, th=symbols('a m n theta')
y=a*tan(th**n)**m
y
$a \tan^{m}{\left(\theta^{n} \right)}$
y.diff(th)
$\frac{a m n \theta^{n} \left(\tan^{2}{\left(\theta^{n} \right)} + 1\right) \tan^{m}{\left(\theta^{n} \right)}}{\theta \tan{\left(\theta^{n} \right)}}$

11_11

a

a, b, x=symbols("a b x", real=True)
y=a*x/(x+b)
y
$\frac{a x}{b + x}$
dydx=y.diff(x)
dydx
$- \frac{a x}{\left(b + x\right)^{2}} + \frac{a}{b + x}$

simplify(dydx)
$\frac{ab}{(b+x)^2}$

위 미분계수의 형태에서 알 수 있듯이 0가 되는 극점은 존재하지 않습니다. 그러므로 극대값, 극소값은 존재하지 않으며 x=30에서의 미분계수는 다음과 같습니다.

solve(dydx, x)
[]
simplify(dydx.subs(x, 30))
$\frac{a b}{\left(b + 30\right)^{2}}$

b

a, b, x=symbols("a b x", real=True)
y=a*(1-exp(-x/b))
y
𝑎(1−𝑒−𝑥𝑏)

dydx=y.diff(x)
dydx
𝑎𝑒−𝑥𝑏𝑏

solve(dydx, x)
[]
dydx.subs(x, 30)
𝑎𝑒−30𝑏𝑏

c

a, b, x=symbols("a b x", real=True)
y=a/90*atan(b/x)
y
$\frac{a \operatorname{atan}{\left(\frac{b}{x} \right)}}{90}$
dydx=y.diff(x)
dydx
$- \frac{a b}{90 x^{2} \left(\frac{b^{2}}{x^{2}} + 1\right)}$
solve(dydx, x)
[]
dydx.subs(x, 30)
$- \frac{a b}{81000 \left(\frac{b^{2}}{900} + 1\right)}$

15

th=symbols("theta", Real=True)
y=th*cos(th)
y
$\theta \cos{\left(\theta \right)}$
dydth=y.diff(th)
dydth
$- \theta \sin{\left(\theta \right)} + \cos{\left(\theta \right)}$
sol=solveset(dydth, th, Interval(-pi, pi))
sol
$\left\{\theta \mid \theta \in \left[- \pi, \pi\right] \wedge - \theta \sin{\left(\theta \right)} + \cos{\left(\theta \right)} = 0 \right\}$

위 결과로부터 미분계수가 0이되는 조건은 $cot(\theta)=\theta$ 입니다. 다음은 이 식과 미분 식의 그래프입니다.

CalculusEasyMade_CH10

A

1

a, b, x=symbols('a b x', real=True)
y=b*(exp(a*x)-exp(-a*x))
y
$b \left(e^{a x} - e^{- a x}\right)$

dydx=y.diff(x)
dydx
$b \left(a e^{a x} + a e^{- a x}\right)$

3

f,n,t=symbols('f, n t', real=True)
f1=log(n*t)
f1
log(nt)

eq=exp(f)-exp(f1)
deq=idiff(eq, f, t)
deq
ne^-f

deq.subs(f, f1)
$\frac{1}{t}$

f1.diff(t)
$\frac{1}{t}$

5

w, p, v, n=symbols('w p v n', real=True)
w1=p*v**n
w1
pvⁿ

eq=log(w)-log(p*v**n)
deq=idiff(eq, w, v)
deq
$\frac{nw}{v}$

deq.subs(w, w1)
$\frac{npv^n}{v}$

w1.diff(v)
$\frac{npv^n}{v}$

7

y, x=symbols('y x', real=True)
y1=3*exp(-x/(x-1))
y1
$3 e^{- \frac{x}{x - 1}}$

eq=log(y)-log(y1)
deq=idiff(eq, y, x)
deq
$\frac{y}{\left(x - 1\right)^{2}}$

deq.subs(y, y1)
$\frac{3 e^{- \frac{x}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}}$

simplify(y1.diff(x))
$\frac{3 e^{- \frac{x}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}}$

9

y, x=symbols('y x', real=True)
y1=log(x**a+a)
y1
log(a+ax)

eq=exp(y)-exp(y1)
deq=idiff(eq, y, x)
deq
$a x^{a - 1} e^{- y}$

deq.subs(y, y1)
$\frac{a x^{a - 1}}{a + x^{a}}$

y1.diff(x)
$\frac{a x^{a - 1}}{a + x^{a}}$

11

y, x=symbols('y x', real=True)
y1=log(x+3)/(x+3)
y1
$\frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{x + 3}$

eq=exp(y)-exp(y1)
deq=idiff(eq, y, x)
deq
$\frac{\left(1 - \log{\left(x + 3 \right)}\right) e^{- y + \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{x + 3}}}{\left(x + 3\right)^{2}}$

deq.subs(y, y1)
$\frac{1 - \log{\left(x + 3 \right)}}{\left(x + 3\right)^{2}}$

y1.diff(x)
$\frac{1 - \log{\left(x + 3 \right)}}{\left(x + 3\right)^{2}}$

B

1

a, y=symbols('a y', real=True)
s=a*y**2*log(1/y)
s
$a y^{2} \log{\left(\frac{1}{y} \right)}$

dsdy=s.diff(y)
dsdy
$2 a y \log{\left(\frac{1}{y} \right)} - a y$

ds2dy=s.diff(y, 2)
ds2dy
$a \left(2 \log{\left(\frac{1}{y} \right)} - 3\right)$

sol=solve(dsdy, y)
sol
[exp(-1/2)]

위 결과에 의하면 극점은 $e^{-\frac{1}{2}}이며 이 지점에서의 2차이미분계수는 음수입니다. 그러므로 위 극점은 극대를 나타냅니다. 극대값은 다음 계산과 같습니다.

ds2dy.subs(y, sol[0])
-2a

s.subs(y, sol[0])
$\frac{a}{2e}$

2

a, x=symbols('a x', real=True)
y=x**3-log(x)
y
x3−log(x)
dydx=y.diff(x)
dydx
$3x^2−\frac{1}{x}$
sol=solve(dydx, x)
sol
[3**(2/3)/3]
dy2dx=y.diff(x, 2)
dy2dx.subs(x, sol[0])
$3⋅3^{\frac{2}{3}}$
minimum=y.subs(x, sol[0])
minimum.evalf(3)
0.7

3_a

x=symbols('x', real=True)
y=x**x
y
x^x

dydx=diff(y, x)
dydx
x^x(log(x)+1)

sol=solve(dydx, x)
sol
[exp(-1)]

y.diff(x, 2).subs(x, sol[0])
$\frac{e}{e^{e^{-1}}}$

print(f"극소값: {N(y.subs(x, sol[0]), 5)}")
극소값: 0.69220

3_b

x=symbols('x', real=True)
y=x**(1/x)
y
$x^{\frac{1}{x}}$

sol=solve(y.diff(x), x)
sol
[E]

y.diff(x, 2).subs(x, sol[0])
$- \frac{e^{e^{-1}}}{e^{3}}$

print(f"극대값: {N(y.subs(x, sol[0]), 5)}")
극대값: 1.4447

3_c

x=symbols('x', real=True)
y=x*a**(1/x)
y
$a^{\frac{1}{x}} x$

sol=solve(y.diff(x), x)
sol
[log(a)]

y.diff(x, 2).subs(x, sol[0])
$\frac{e}{log(a)}$

print(f"극소값: {N(y.subs(x, sol[0]), 5)}")
극소값: 2.7183*log(a)

선형대수코드_CH5

1

 1. 4×5 행렬 A는 3차원의 영공간을 가집니다. 이 경우 A의 rank?

영공간의 선형종속인 선형결합시스템의 해공간의 기저벡터들의 집합이므로 그 차원이 rank가 됩니다. 그러므로 3이 됩니다.

2

다음 기저 벡터 u₁, u₂에 대해 c의 좌표벡터?

u1=Matrix(2,1, [3,2])
u2=Matrix(2,1, [2,3])
c=Matrix(2,1, [2,1])
au=u1.row_join(u2).row_join(c)
au
$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 2\\2 & 3 & 1\end{matrix}\right]$

latex(au.rref())
$\left( \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{4}{5}\\0 & 1 & - \frac{1}{5}\end{matrix}\right], \ \left( 0, \ 1\right)\right)$

3

다음 세 벡터 v1, v2, v3는 선형독립? span(v1, v2, v3)의 기저?

v1=Matrix(4, 1,[1,1,1,2])
v2=Matrix(4, 1, [1, 2, -1, 1])
v3=Matrix(4, 1, [0, 1, 1, 2])
v=v1.row_join(v2).row_join(v3)
v
$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0\\1 & 2 & 1\\1 & -1 & 1\\2 & 1 & 2\end{matrix}\right]$

au=v.row_join(zeros(4,1))
au
$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0\\1 & 2 & 1 & 0\\1 & -1 & 1 & 0\\2 & 1 & 2 & 0\end{matrix}\right]$

au.rref()
$\left( \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right], \ \left( 0, \ 1, \ 2\right)\right)$

세벡터는 선형독립이며 각각 기저벡터입니다.

4

다음 행렬 A의 고유공간?

A=np.array([[-9, -6, 10],[-20, -13, 22],[-20, -15, 24]])
print(A)
[[ -9 -6 10]
   [-20 -13 22]
   [-20 -15 24]]

val, vec=la.eig(A)
print(val)
[-1. 1. 2.]

print(np.around(vec, 3))
[[ 0.333 -0.272 0.281]
   [ 0.667 -0.68 0.655]
   [ 0.667 -0.68 0.702]]

Matrix(vec).columnspace()
[Matrix([[0.333333333333334],
        [0.666666666666667],
        [0.666666666666667]]),
   Matrix([[-0.272165526975908],
        [-0.680413817439772],
        [-0.680413817439772]]),
   Matrix([[0.280668161834993],
        [0.654892377614983],
        [0.701670404587482]])]

5

ℝ² 공간의 기저 집합인 S, T와 다른 두 벡터 a, b에 대해 다음을 답하세요.

S=Matrix([[1,2],[1,3]])
T=Matrix([[1,0],[2,1]])
a=Matrix([[1], [5]])
b=Matrix([[5],[4]])
#(a)
Sa=(S.row_join(a)).rref()
Sa
(Matrix([ [1, 0, -7],
        [0, 1, 4]]),
         (0, 1))

SaCord=Sa[0][:,2]
SaCord
$\left[\begin{matrix}-7\\4\end{matrix}\right]$

SbCord=(S.row_join(b)).rref()[0][:,2]
SbCord
$\left[\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right]$

#(b)
TS=T.row_join(S).rref()
TS
(Matrix([[1, 0, 1, 2],
         [0, 1, -1, -1]]),
         (0, 1))

P=TS[0][:,2:]
P
$\left[\begin{matrix}1 & 2\\-1 & -1\end{matrix}\right]$

#(c)
PSa=P*SaCord
PSa
$\left[\begin{matrix}1 \\3\end{matrix}\right]$

PSb=P*SbCord
PSb
$\left[\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right]$

#(d)
TaCord=T.row_join(a).rref()[0][:,2]
TaCord
$\left[\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right]$


TbCord=T.row_join(b).rref()[0][:,2]
TbCord
[5−6]


#(d)
Q=(S.row_join(T).rref())[0][:,2:]
Q
$\left[\begin{matrix}-1 & -2\\1 & 1\end{matrix}\right]$

QTaCord=Q*(TaCord)
QTaCord
$\left[\begin{matrix}-7\\4\end{matrix}\right]$

QTbCord=Q*(TbCord)
QTbCord
$\left[\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right]$

5_2

2. 다음 행렬 A 급수(rank)를 열공간와 같은지를 확인하시오.

A=Matrix([[1,2,3,1,2],[2,1,2,3,1],[3,3,5,4,3],[1,-1,-1,2,-1]])
A
$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 1 & 2\\2 & 1 & 2 & 3 & 1\\3 & 3 & 5 & 4 & 3\\1 & -1 & -1 & 2 & -1\end{matrix}\right]$

A.columnspace()
[Matrix([[1],[2],[3],[1]]),
Matrix([[ 2],[ 1],[ 3],[-1]])]

A.rank()
2

5_3

3. 다음 행렬들은 동일한 벡터 공간내에 존재합니까? 그렇다면 검증하세요.

A=Matrix([[1,2,1,3],[2,1,-4,-5],[7,8,-5,-1],[10,14,-2,8]])
B=Matrix([[4,3,-1,-5],[-2,-6,-7,10],[-2,-3,-2,5],[0,-6,-10,10]])
A.rank(), B.rank()
(2, 2)

A.rref()
(Matrix([[1, 0, -3, -13/3],
         [0, 1, 2, 11/3],
         [0, 0, 0, 0],
         [0, 0, 0, 0]]),
         (0, 1))

B.rref()
(Matrix([[1, 0, -3/2, 0],
         [0, 1, 5/3, -5/3],
         [0, 0, 0, 0],
         [0, 0, 0, 0]]),
         (0, 1))

두 행렬 A, B 모두 정방행렬이고 rank=2이므로 각 행렬에서 기저인 두 개의 열벡터에 대한 나머지 벡터들과 선형독립이 성립됩니다. 다음에서 나타낸 것과 같이 A,B 각각에 기저벡터들로서 작용하는 벡터들의 결합으로 새로운 행렬을 생성할 경우 모두가 기저로 작용합니다. 그러므로 두 행렬은 같은 벡터 공간내에 존재합니다.

A[:,:2].row_join(B[:,2:]).rref()
(Matrix([[1, 0, 0, 0],
        [0, 1, 0, 0],
        [0, 0, 1, 0],
        [0, 0, 0, 1]]),
        (0, 1, 2, 3))

B[:,:2].row_join(A[:,2:]).rref()
(Matrix([[1, 0, 0, 0],
        [0, 1, 0, 0],
        [0, 0, 1, 0],
        [0, 0, 0, 1]]),
        (0, 1, 2, 3))

7

다음 확률행렬의 정상상태 벡터를 결정?
$M=\left[\begin{matrix}0.5 & 0.2 & 0.0\\0.0 & 0.2 & 0.4\\0.5 & 0.6 & 0.6\end{matrix}\right]$

M=np.array([[0.5, 0.2, 0.0], [0.0, 0.2, 0.4], [0.5, 0.6, 0.6]])
val, vec=la.eig(M)
print(val)
[ 1. 0.35615528 -0.05615528]

print(vec)
[[-0.17609018 -0.79153023 0.28983825]
   [-0.44022545 0.56928722 -0.80597536]
   [-0.88045091 0.22224301 0.51613711]]

q=vec[:,0]/np.sum(vec[:,0])
print(q.reshape(3,1))
[[0.11764706]
   [0.29411765]
   [0.58823529]]

CalculusEasyMade_CH9

다음을 부분분수로 전환

9_(1)

$\frac{3x+5}{(x-3)(x+4)}$

A, B, x=symbols('A B x', real=True)
y=(3*x+5)/((x-3)*(x+4))
eq1=A/(x-3)
eq2=B/(x+4)
eq3=together(eq1+eq2)
eq3
$\frac{A \left(x + 4\right) + B \left(x - 3\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 4\right)}$

sol=solve(Eq(numer(eq3), numer(y)), (A, B))
sol
{A: 2, B: 1}

eq1.subs(A, sol[A])
$\frac{2}{x - 3}$

eq2.subs(B, sol[B])
$\frac{1}{x + 4}$

apart()함수를 적용하여 직접적으로 실행

apart(y)
$\frac{1}{x + 4} + \frac{2}{x - 3}$

(4)

A, B, x=symbols('A B x', real=True)
y=(3*x+1)/(x**2-7*x+12)
y
$ \frac{3 x + 1}{x^{2} - 7 x + 12}$

apart(y)
$- \frac{10}{x - 3} + \frac{13}{x - 4}$

de=denom(y)
de
x²−7x+12

de1=factor_list(de)
de1
(1, [(x - 4, 1), (x - 3, 1)])

de1[1][0][0]
x−4

eq1=A/de1[1][0][0]
eq1
$\frac{A}{x-4}$

eq2=B/de1[1][1][0]
eq2
$\frac{B}{x-3}$

sol=solve(Eq(numer(y),numer(together(eq1+eq2))), (A, B))
sol
{A: 13, B: -10}

eq1.subs(A, sol[A])
$\frac{13}{x-4}$

eq2.subs(B, sol[B])
$-\frac{10}{x-3}$

(6)

A, B, C, x=symbols('A B C x', real=True)
y=(x**2-13*x+26)/((x-2)*(x-3)*(x-4))
y
$\frac{x^{2} - 13 x + 26}{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x - 2\right)}$

apart(y)
$\frac{2}{x - 2} + \frac{4}{x - 3} - \frac{5}{x - 4}$

eq1=A/(x-2)
eq2=B/(x-3)
eq3=C/(x-4)
eq=together(eq1+eq2+eq3)
eq
$\frac{A \left(x - 4\right) \left(x - 3\right) + B \left(x - 4\right) \left(x - 2\right) + C \left(x - 3\right) \left(x - 2\right)}{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x - 2\right)}$

sol=solve(Eq(numer(y), numer(eq)), (A, B, C))
sol
{A: 2, B: 4, C: -5}

eq1.subs(A, sol[A])
$\frac{2}{x-2}$

eq2.subs(B, sol[B])
$\frac{4}{x-3}$

eq3.subs(C, sol[C])
$-\frac{5}{x-4}$

(9)

x=symbols('x', real=True)
y=x**2/(x**3-1)
y
$\frac{x^{2}}{x^{3} - 1}$

apart(y)
$\frac{2 x + 1}{3 \left(x^{2} + x + 1\right)} + \frac{1}{3 \left(x - 1\right)}$

de=denom(y)
de
x³−1

de1=factor_list(de)
de1
(1, [(x - 1, 1), (x**2 + x + 1, 1)])

A,B,C=symbols("A B C", real=True)
eq1=A/de1[1][0][0]
eq1
$\frac{A}{x−1}$

eq2=(B*x+C)/de1[1][1][0]
eq2
$\frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

sol=solve(Eq(numer(y),numer(together(eq1+eq2))), (A, B, C))
sol
{A: 1/3, B: 2/3, C: 1/3}

eq1.subs(A, sol[A])
$\frac{1}{3(x−1)}$

simplify(eq2.subs({B:sol[B], C:sol[C]}))
$\frac{2 x + 1}{3 \left(x^{2} + x + 1\right)}$

(10)

A,B,C,x=symbols("A B Cx", real=True)
y=(x**4+1)/(x**3+1)
y
$\frac{x^{4} + 1}{x^{3} + 1}$
apart(y)

$x - \frac{2 x - 1}{3 \left(x^{2} - x + 1\right)} + \frac{2}{3 \left(x + 1\right)}$

이 식은 분자의 차수가 분모의 차수 보다 큽니다. 그러므로 위 식을 대수분수로 수정하여 부분분수를 생성합니다.
$\begin{align}\frac{x^4+1}{x^3+1}&=\frac{x(x^3+1)-x+1}{x^3+1}\\&=x+\frac{-x+1}{x^3+1}\end{align}$

y2=(1-x)/(x**3+1)
y2
$\frac{1 - x}{x^{3} + 1}$

de=factor_list(denom(y))
de
(1, [(x + 1, 1), (x**2 - x + 1, 1)])

eq1=A/de[1][0][0]
eq1
$\frac{A}{x + 1}$

eq2=(B*x+C)/de[1][1][0]
eq2
$\frac{B x + C}{x^{2} - x + 1}$

eq=together(eq1+eq2)
eq
$\frac{A \left(x^{2} - x + 1\right) + \left(x + 1\right) \left(B x + C\right)}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} - x + 1\right)}$

sol=solve(Eq(numer(y2), numer(eq)),(A,B,C))
sol
{A: 2/3, B: -2/3, C: 1/3}

eq1.subs(A, sol[A])
$\frac{2}{3 \left(x + 1\right)}$

simplify(eq2.subs({B:sol[B], C:sol[C]}))
$\frac{1 - 2 x}{3 \left(x^{2} - x + 1\right)}$

x+eq1.subs(A, sol[A])+simplify(eq2.subs({B:sol[B], C:sol[C]}))
$x + \frac{1 - 2 x}{3 \left(x^{2} - x + 1\right)} + \frac{2}{3 \left(x + 1\right)}$

(12)

x=symbols('x', real=True)
y=x/((x-1)*(x-2)**2)
y
$\frac{x}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)}$
A, B,C, D=symbols("A B C D", real=True)

eq1=A/(x-1)
eq2=B/(x-2)
eq3=(C*x+D)/(x-2)**2
eq=together(eq1+eq2+eq3)
eq
$\frac{A \left(x - 2\right)^{2} + B \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right) \left(C x + D\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)}$

sol=solve(Eq(numer(y), numer(eq)), (A, B, C, D))
sol
{C: 1 - D/2, B: D/2 - 2, A: 1}

위 결과는 상수 B와 C는 D에 의해 다양한 해가 존재하므로 위 형태로는 부분분수를 결정할 수 없습니다. 즉, 부분분수로 가정한 형태의 변수들의 수를 줄여야 합니다.
분자의 차수는 분모의 전체 차수에 의해 결정됩니다. 위 식의 분모 (x-2)²의 경우 분자의 차수는 전개된 분모의 최고차수 (x²) 가 아닌 정리된 형태인 x에 의해 결정합니다. 그러므로 이 분수의 경우 분자는 Cx+D가 아닌 C가 됩니다.

eq1=A/(x-1)
eq2=B/(x-2)
eq3=C/(x-2)**2
eq=together(eq1+eq2+eq3)
eq
$\frac{A \left(x - 2\right)^{2} + B \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) + C \left(x - 1\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)}$

sol=solve(Eq(numer(y), numer(eq)), (A, B, C))
sol
{A: 1, B: -1, C: 2}

eq1.subs(A, sol[A])+eq2.subs(B, sol[B])+eq3.subs(C,sol[C])
$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}}$

apart(y)
$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}}$

(14)

12번과 같은 과정

x=symbols('x', real=True)
y=(x+3)/((x+2)**2*(x-1))
y
$\frac{x + 3}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)^{2}}$
A, B,C, D=symbols("A B C D", real=True)
eq1=A/(x-1)
eq2=B/(x+2)
eq3=(C)/(x+2)**2
eq=together(eq1+eq2+eq3)
eq
$\frac{A \left(x + 2\right)^{2} + B \left(x - 1\right) \left(x + 2\right) + C \left(x - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)^{2}}$
sol=solve(Eq(numer(y), numer(eq)), (A, B, C))
sol
{C: -1/3, B: -4/9, A: 4/9}
apart(y)
$- \frac{4}{9 \left(x + 2\right)} - \frac{1}{3 \left(x + 2\right)^{2}} + \frac{4}{9 \left(x - 1\right)}$

(16)

x=symbols('x', real=True)
y=(5*x**2+8*x-12)/(x+4)**3
y
$\frac{5 x^{2} + 8 x - 12}{\left(x + 4\right)^{3}}$

A, B,C=symbols("A B C", real=True)
eq1=A/(x+4)
eq2=B/(x+4)**2
eq3=(C)/(x+4)**3
eq=together(eq1+eq2+eq3)
eq
$\frac{A \left(x + 4\right)^{2} + B \left(x + 4\right) + C}{\left(x + 4\right)^{3}}$

sol=solve(Eq(numer(y), numer(eq)), (A, B, C))
sol
{C: 36, B: -32, A: 5}

apart(y)
$\frac{5}{x + 4} - \frac{32}{\left(x + 4\right)^{2}} + \frac{36}{\left(x + 4\right)^{3}}$

(18)

x=symbols('x', real=True)
y=x**2/((x**3-8)*(x-2))
y
$\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right) \left(x^{3} - 8\right)}$
#x**3-8을 인수분해
de=factor_list(x**3-8)
de
(1, [(x - 2, 1), (x**2 + 2*x + 4, 1)])
A, B,C, D=symbols("A B C D", real=True)
eq1=A/(x-2)
eq2=B/(x-2)**2
eq3=(C*x+D)/(x**2+2*x+4)
eq=together(eq1+eq2+eq3)
eq
$\frac{A \left(x - 2\right) \left(x^{2} + 2 x + 4\right) + B \left(x^{2} + 2 x + 4\right) + \left(x - 2\right)^{2} \left(C x + D\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x^{2} + 2 x + 4\right)}$
sol=solve(Eq(numer(y), numer(eq)), (A, B, C, D))
sol
{A: 1/6, B: 1/3, C: -1/6, D: 0}
apart(y)
$- \frac{x}{6 \left(x^{2} + 2 x + 4\right)} + \frac{1}{6 \left(x - 2\right)} + \frac{1}{3 \left(x - 2\right)^{2}}$

CalculusEasyMade_CH8

8_1

다음 식의 극대값과 극소값?

y = x³ + x² - 10x + 8

x=symbols('x', positve=True)
y=x**3+x**2-10*x+8
dydx=y.diff(x)
dydx
3x²+2x−10

sol=solve(dydx, x)
sol
[-1/3 + sqrt(31)/3, -sqrt(31)/3 - 1/3]

dy2dx=y.diff(x, 2)
dy2dx
2(3x+1)

re=[]
for i in sol:
 re.append(dy2dx.subs(x, i))
re
[2*sqrt(31), -2*sqrt(31)]

극소값은 $x=-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{31}}{3}$, 극대값은 $x=-\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{31}}{3}$의 y의 값입니다.

mn={}
idx=['minimum','maximum']
for i in range(len(sol)):
 mn[idx[i]]=N(y.subs(x, sol[i]),4)
mn
{'minimum': -1.378, 'maximum': 24.19}

8_2

다음 함수 y의 ^dy/_dx와 ^d2y/_dx²와 극대값과 극소값을 계산하세요.
$y=\frac{b}{a}x-cx^2$

a, b, c, x=symbols('a b c x', positve=True)
y=b/a*x-c*x**2
dydx=y.diff(x)
dydx
$- 2 c x + \frac{b}{a}$
sol=solve(dydx, x)
sol
[b/(2*a*c)]
dy2dx=y.diff(x, 2)
dy2dx
−2c
max=y.subs(x, sol[0])
max
$\frac{b^{2}}{4 a^{2} c}$

위 계산과정에서 2차 미분계수는 음(negative)입니다. 그러므로 1차미분계수=0인 지점의 y 값은 극대값입니다.

8_3(6)

$y=\pm\frac{x}{6}\sqrt{x(10-x)}$의 극대와 극소값?

x=symbols('x', real=True)
y1=x/6*sqrt(x*(10-x))
y2=-x/6*sqrt(x*(10-x))
y1
$\frac{x \sqrt{x \left(10 - x\right)}}{6}$

y2
$-\frac{x \sqrt{x \left(10 - x\right)}}{6}$

dydx_1=y1.diff(x)
dydx_1
$\frac{\sqrt{x \left(10 - x\right)} \left(5 - x\right)}{6 \left(10 - x\right)} + \frac{\sqrt{x \left(10 - x\right)}}{6}$

sol1=solve(dydx_1, x)
sol1
[0, 15/2]

[y1.diff(x, 2).subs(x, i) for i in sol1]
[nan, -sqrt(3)/3]

y1.subs(x, sol1[1]).evalf(3)
5.41

2차 미분계수가 음수이므로 극값은 극대값

dydx_2=y2.diff(x)
dydx_2
$ - \frac{\sqrt{x \left(10 - x\right)} \left(5 - x\right)}{6 \left(10 - x\right)} - \frac{\sqrt{x \left(10 - x\right)}}{6}$
sol2=solve(dydx_2, x)
sol2
[0, 15/2]
[y2.diff(x, 2).subs(x, i) for i in sol2]
[nan, sqrt(3)/3]
y2.subs(x, sol2[1]).evalf(3)
−5.41

2차 미분계수가 양수이므로 극값은 극소값. 이 결과는 위 식에 대해 작성한 다음 그래프에서 확인됩니다.

8_4

4. 발전기의 출력 x에 대해 효율 y는 다음 방정식에 의해 표현됩니다.

y =	x
	a + bx + cx2

여기서 a는 주로 철의 에너지 손실에 따라 달라지는 상수이고 c는 주로 구리 부품의 저항에 따라 달라지는 상수입니다.효율성이 최대가 될 출력 값에 대한 표현식을 찾으십시오.

a, b, c, x=symbols('a b c x', real=True)
y=x/(a+b*x+c*x**2)
dydx=y.diff(x)
dydx
$\frac{x \left(- b - 2 c x\right)}{\left(a + b x + c x^{2}\right)^{2}} + \frac{1}{a + b x + c x^{2}}$
sol=solve(dydx, x)
sol
[-sqrt(a/c), sqrt(a/c)]

결과적으로 최대 효율을 위해 관계되는 식은 $\sqrt{\frac{a}{c}}$입니다.

CalculusEasyMade_CH7

7_1

다음 함수들의 극대와 극소?

(1) $y=\frac{x^2}{x+1}$

x=symbols('x', real=True)
y=x**2/(x+1)
dydx=diff(y, x)
dydx
$- \frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x + 1}$

m_x=solve(dydx, x)
m_x
[-2, 0]

print("x: y, dydx")
for i in [-3, -2, -1, 0, 1]:
 print(f"{i}: {y.subs(x, i)}, {dydx.subs(x, i)}")
x: y, dydx
-3: -9/2, 3/4
-2: -4, 0
-1: zoo, nan
0: 0, 0
1: 1/2, 3/4

위 결과에 의하면 x=-2에서 극대값 -4, x=0에서 극소값 0

(2) $y=\frac{x}{a^2+x^2}$

7_2

다음 식의 곡선을 그리고 미분계수를 계산합니다. 또한 극소값을 발견하세요.
$y=\frac{10}{x}+\frac{10}{8-x}$

x=symbols('x', real=True)
y=10/x+10/(8-x)
y
$\frac{10}{8 - x} + \frac{10}{x}$

dydx=(diff(y, x))
dydx
$\frac{10}{\left(8 - x\right)^{2}} - \frac{10}{x^{2}}$

m=solve(dydx, x)
m
[4]

for i in [3, 4, 5]:
 print(y.subs(x, i))
16/3
   5
   16/3

x=4에서 극소값 5

7_3

y = x⁵ - 5x의 극소값을 계산하세요.

x=symbols('x', real=True)
y=x**5-5*x
y
x⁵ - 5x

dydx=(diff(y, x))
dydx
5x⁴−5

m=solve(dydx, x)
m
[-1, 1]
for i in [-2, -1, 0, 1, 2]:
 print(i, y.subs(x, i))
-2 -22
   -1 4
   0 0
   1 -4
   2 22

x=-1에서 극대, x=1에서 극소이므로 극소값은 -4입니다.

7_4

원뿔 내에 바닥 반경(R)과 같은 높이(h)의 실린더에서 (a) 부피가 최대인 경우높이와 반경이 같은 원뿔내에 생성되는 실린더의 다음의 경우를 계산하세요. (a) 부피가 최대인 경우, (b)측면의 면적이 최대인 경우 (c)총면적이 최대인 경우

다음 그림은 원뿔내의 실린더에 대한 단면이며 실린더 밑면의 반경(x)은 0<x < R이며 높이(y)는 다음 식으로 계산할 수 있습니다. 

y=x+R

그러므로 실린더의 부피(V)와 측면면적(s) 그리고 총면적(A)은 다음과 같습니다.
$\begin{align}V&=\pi x^2 (R-x)\\S&=2x(R-x)\\A&=2\pi x^2+2x(R-x)\end{align}$

(a)최대부피(V)?

R,x=symbols('R x', real=True)
v=pi*x**2*(R-x)
v
$\pi x^{2} \left(R - x\right)$/span>
dvdx=(diff(v, x))
dvdx
$- \pi x^{2} + 2 \pi x \left(R - x\right)$
m=solve(dvdx, x)
m
[0, 2*R/3]

실린더 밑면의 반지름이 원 뿔의 반지름의 $\frac{2}{3}$일 경우 최대부피

(b)측면의 면적(s)이 최대?

s=2*x*(R-x)
dsdx=diff(s, x)
dsdx
2R-4x
solve(dsdx, x)
[R/2]

실린더 밑면의 반지름이 원 뿔의 반지름의 $\frac{1}{2}$일 경우 측면의 최대면적

(b)총 면적(A)이 최대?

A=2*pi*x**2+2*x*(R-x)
A
$2 \pi x^{2} + 2 x \left(R - x\right)$
dAdx=diff(A, x)
dAdx
$2 R - 4 x + 4 \pi x$
solve(dAdx, x)
[R/(2*(1 - pi))]
N(2*(1 - pi), 3)
−4.28

위 함수의 극점은 음수이므로 총면적의 극대, 극소는 존재하지 않습니다.

7_5

구형 풍선의 부피가 증가하고 있습니다. 반지름이 r cm 일 때 부피가 초당 4 cm³의 속도로 증가한다면 표면은 어느 정도 증가할까요?

$\begin{align}V&=\frac{4}{3}\pi r^3\\S&=\pi r^2 \end{align}$
초당 부피의 변화가 일어나므로 반지름 r을 시간 t의 함수로 작성하여야 합니다. sympy에서 함수의 정의는 Function(' ')(변수)로 실행됩니다. 다음 코드에서 t를 변수로 r을 변수 t에 대한 함수로 정의하였습니다.

t=symbols('t', real=True)
r=Function('r')(t)
v=Rational('4/3')*pi*r**3
v
$\frac{4 \pi r^{3}{\left(t \right)}}{3}$

dvdr=diff(v, t)
dvdr
$4 \pi r^{2}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} r{\left(t \right)}$

위의 미분 결과 중에서 $\frac{d}{d t} r{\left(t \right)}$는 r.diff(t)와 같습니다. 즉, 함수 r을 변수 t로 미분함을 의미합니다. 위의 시간에 따른 부피의 변화율(미분)은 4이므로 다음과 같이 계산하여 r.diff(t)를 얻습니다.

sol=solve(Eq(dvdr, 4), r.diff(t))
sol
[1/(pi*r(t)**2)]

sol[0]
$\frac{1}{\pi r^{2}{\left(t \right)}}$

r.diff(t)를 시간에 따른 면적의 변화율(미분)에 대입합니다.

S=4*pi*r**2
dsdt=diff(S, t)
dsdt
$ 8 \pi r{\left(t \right)} \frac{d}{d t} r{\left(t \right)}$

dsdt.subs(r.diff(t), sol[0])
$\frac{8}{r(t)}$

위의 마지막 결과가 부피의 변화율에 따른 면적의 변화율을 나타냅니다.

7_6

주어진 구체에 원뿔이 포함한다면 부피가 최대인 경우를 계산하시오.

원뿔의 부피는 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$으로 계산 할 수 있습니다.
다음 그림은 구 내에 생성된 원 뿔을 나타낸 것으로 구의 반지름 R을 사용하여 원뿔의 반지름 r을 유도할 수 있습니다.

$r^2=R^2-(h-R)^2$

h, R=symbols('h R', positve=True)
r=(R**2-(h-R)**2)**Rational("1/2")
r
$\sqrt{R^{2} - \left(- R + h\right)^{2}}$

V=Rational('1/3')*pi*r**2*h
V
$\frac{\pi h \left(R^{2} - \left(- R + h\right)^{2}\right)}{3}$

dVdh=V.diff(h)
dVdh
$\frac{\pi h \left(2 R - 2 h\right)}{3} + \frac{\pi \left(R^{2} - \left(- R + h\right)^{2}\right)}{3}$

sol=solve(dVdh, h)
sol
[0, 4*R/3]

re=r.subs(h, 4*R/3)
re
$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{R^{2}}}{3}$

7_7

N 개의 유사한 볼타 전지의 배터리에 의해 주어진 전류 C는 다음과 같습니다.
$C=\frac{nE}{R+\frac{rn^2}{N}}$

E, R, r은 상수이고 n은 직렬로 연결된 셀의 수입니다.
전류가 최대일 경우 N과 n의 비율을 계산하시오.

n, N, E,r, R=symbols('n N E r R', positve=True)
C=n*E/(R+r*n**2/N)
dCdn=C.diff(n)
dCdn
$\frac{E}{R + \frac{n^{2} r}{N}} - \frac{2 E n^{2} r}{N \left(R + \frac{n^{2} r}{N}\right)^{2}}$

sol=solve(dCdn, n)
sol
[-(N**2*R**2/r**2)**(1/4), (N**2*R**2/r**2)**(1/4)]

n은 갯수이므로 양수입니다. 그러므로 위 결과 중 두 번째 값입니다.

Eq(sol[1], n)
$\sqrt[4]{\frac{N^{2} R^{2}}{r^{2}}} = n$

CalculusEasyMade_CH6

6_1

다음 함수의 그래프를 작성하세요. 곡선 위의 몇 개의 좌표를 측정하세요. 방정식을 미분하여 기울기에 대한 표현식을 찾으십시오. 측정한 좌표에서의 접선의 기울기를 계산하세요.

$y=\frac{4}{3}x^2-5$

x=symbols('x', real=True)
y=Rational('4/3')*x**2-5
dydx=diff(y, x)
dydx
8x³

(1, f(1))에 접선의 기울기는 다음과 같습니다.

N(dydx.subs(x, 1), 4)
2.667

위 결과를 그래프로 그리면 다음과 같습니다.

6_3

y = (x − a)(x − b)에서 다음을 보이세요.

$x=\frac{1}{2}(a+b) \rightarrow \frac{dy}{dx}=0$

a, b, x=symbols('a b x', real=True)
y=(x-a)*(x-b)
dydx=diff(y, x)
dydx
−a-b+2x

dydx.subs(x, (a+b)/2)
0

6_5

x² + y² = 4인 곡선에서 기울기가 1이 되는 지점의 x?
원의 방정식은 음함수이며 이를 양함수 형태로 나타내면 다음과 같이 두 함수로 나타낼 수 있습니다.

x, y=symbols('x y', real=True)
eq=x**2+y**2-4
y_eq=solve(eq, y)
y_eq
[-sqrt(4 - x**2), sqrt(4 - x**2)]

즉, 1,2사분면의 반원과 3, 4분면의 반원으로 구분되며 각각을 g(x), f(x)로 구분하여 각각의 미분계수와 그 미분계수=1인 지점의 x를 계산하면 다음과 같습니다.

f=y_eq[0]
dfdx=diff(f, x)
dfdx
$\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

solve(Eq(dfdx, 1), x)
[$\sqrt{2}$]

g=y_eq[1]
dgdx=diff(g, x)
dgdx
$- \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

solve(Eq(dgdx, 1), x)
[$-\sqrt{2}$]

6_6

다음 식의 기울기를 나타내고 x = 0, 1에서의 기울기의 값을 구하세요.
$\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$

음함수의 미분은 sympy 라이브러리의 idiff() 함수를 적용합니다.

x, y=symbols('x y', real=True)
eq=x**2/3**2+y**2/2**2-1
eq
$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} - 1$

dydx=idiff(eq, y, x)
dydx
$- \frac{4 x}{9 y}$

x=0, 1에 대응하는 y 값을 결정합니다.

y0=solve(eq.subs(x, 0), y)
y0
[-2, 2]

y1=solve(eq.subs(x, 1), y)
y1
[-4*sqrt(2)/3, 4*sqrt(2)/3]

위에서 결정한 (x, y) 죄표에서의 접선의 기울기를 계산합니다.

#x=0
dydx0=[dydx.subs({x:0, y:i}) for i in y0]
dydx0
[0, 0]

#x=1
dydx1=[dydx.subs({x:1, y:i}) for i in y1]
dydx1
[sqrt(2)/6, -sqrt(2)/6]

6_7

y = 5 − 2x + 0.5x³의 접선의 방정식이 g(x) = mx + n 이라면 x = 2인 지점에서의 m과 n을 발견하세요.(m, n은 상수)

n, x=symbols('n x', real=True)
y=5-2*x+0.5*x**3
dydx=diff(y, x)
dydx
1.5x²−2

y2=y.subs(x, 2)
y2
5.0

m=dydx.subs(x, 2)
m
4.0

#접선의 식 g=mx+n
Eq(m*2+n, y2)
n+8.0=5.0

n1=solve(Eq(m*2+n, y2), n)
n1
[-3.00000000000000]

g=m*x+n1[0]
g
4.0x−3.0

6_8

두 곡선 f=y = 3.5x² + 2 및 g=y = x² − 5x + 9.5는 어떤 각도에서 서로를 절단합니까?
다음의 결과와 같이 두 곡선은 두 지점에서 교차됩니다.

x=symbols('x', real=True)
f=3.5*x**2+2
g=x**2-5*x+9.5
x_cross=solve(Eq(f, g), x)
x_cross
[-3.00000000000000, 1.00000000000000]

각 교차점에서의 f, g의 접선 기울기

dfdx=diff(f, x)
slope_f=[dfdx.subs(x,i) for i in x_cross]
slope_f
[-21.0000000000000, 7.00000000000000]

dgdx=diff(g, x)
slope_g=[dgdx.subs(x,i) for i in x_cross]
slope_g
[-11.0000000000000, -3.00000000000000]

접선 기울기는 x축과의 tan값을 나타냅니다. 다음과 같이 tan 역함수를 적용하여 $/theta$를 계산할 수 있습니다.
$tan(\theta)=a \rightarrow \theta=tan^{-1}(a)$
sympy 함수 atan() 함수를 위 계산에 적용할 수 있습니다. sympy 모듈등 대부분의 python에서 제공하는 삼각함수들은 radian 값을 계산합니다. 그러므로 deg() 함수로 각도로 전환합니다. 또한 다음의 결과와 같이 음(negative)의 각도는 시계방향의 각도를 의미합니다. 그러나 표준적으로 각도는 반시계방향으로 나타냅니다. 그러므로 그 값은 180-|값|으로 전처리 후 계산합니다.

sf_deg=[N(deg(atan(i)), 4) for i in slope_f]
sf_deg
[-87.27, 81.87]

sg_deg=[N(deg(atan(i)), 4) for i in slope_g]
sg_deg
[-84.81, -71.57]

deg_gap=[]
for i in range(2):
 a, b=sf_deg[i], sg_deg[i]
 if a<0:
  a=180-abs(a)
 if b<0:
  b=180-abs(b)
 deg_gap.append(abs(a-b))
deg_gap
[2.468, 26.56]

CalculusEasyMade_CH5

5_2

$y=\sqrt{x^2+a^2}$

a, x, u=symbols('a x, u', real=True)
y=sqrt(x**2+a**2)
y
$\sqrt{a^{2} + x^{2}}$

u1=x**2+a**2
dudx=diff(u1, x)
dudx
2x

y1=sqrt(u)
dy1du=diff(y1, u)
dy1du
$\frac{1}{2\sqrt{u}$

dy1dx=dy1du*dudx
dy1dx.subs(u, u1)
$\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}$

dydx=diff(y, x)
dydx
$\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}$

5_6

$\begin{align}y&=\frac{(x^4+a)^{\frac{3}{2}}}{x^3+a}\\ &=\frac{u}{v}\\ u&=x^4+a\\ v&=x^3+a\\ dy&=\frac{du^{\frac{3}{2}} \cdot v-u^{\frac{3}{2}} \cdot dv}{v^2}\end{align}$

diff() 함수를 사용하여 직접 미분한 결과는 다음과 같습니다.

a, x, u, v=symbols('a x, u, v', real=True)
y=(x**4+a)**Rational('3/2')/(x**3+a)
y
$\frac{\left(a + x^{4}\right)^{\frac{3}{2}}}{a + x^{3}}$

dydx=diff(y, x)
dydx
$\frac{6 x^{3} \sqrt{a + x^{4}}}{a + x^{3}} - \frac{3 x^{2} \left(a + x^{4}\right)^{\frac{3}{2}}}{\left(a + x^{3}\right)^{2}}$

위에서 전개된 방식대로 u, v에 치환에 의한 결과는 다음과 같습니다.

u1=x**4+a
dudx=diff(u1, x)
y1=u**Rational('3/2')
dy1du=diff(y1, u)
dy1dx=dy1du*dudx
dy1dx
$6 \sqrt{u} x^{3}$

dy1dx=dy1dx.subs(u, u1)
dy1dx
$6 x^{3} \sqrt{a + x^{4}}$

v1=x**3+a
dvdx=diff(v1, x)
y2=v
dy2dv=diff(y2,v)
dy2dx=dy2dv*dvdx
dy2dx
3x²

dy2dx=dy2dx.subs(v, v1)
dy2dx
$- \frac{3 x^{2}}{\left(a + x^{3}\right)^{2}}$

(dy1dx*(v1)-u1**Rational('3/2')*dy2dx)/v1**2
$\frac{6 x^{3} \left(a + x^{3}\right) \sqrt{a + x^{4}} - 3 x^{2} \left(a + x^{4}\right)^{\frac{3}{2}}}{\left(a + x^{3}\right)^{2}}$

5_10

$\begin{align}y&=\frac{1}{2}x^3\\ v&=u+u^2\\ w&=\frac{1}{v^2}\\ \frac{dw}{dx}&=\frac{dw}{dv}\cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx}\end{align}$

x, u, v, w=symbols('x, u, v, w', real=True)
u1=1/2*x**3
v1=u+u**2
w=1/v**2
dwdv=diff(w, v)
dwdv
$-\frac{2}{v^3}$

dvdu=diff(v1, u)
dvdu
2u+1

dudx=diff(u1, x)
dudx
1.5x²

dwdx=dwdv*dvdu*dudx
dwdx
$- \frac{3.0 x^{2} \left(2 u + 1\right)}{v^{3}}$

dwdx=dwdx.subs({u:u1, v:v1})
dwdx
$- \frac{3.0 x^{2} \left(1.0 x^{3} + 1\right)}{\left(u^{2} + u\right)^{3}}$

dwdx=dwdx.subs(u, u1)
dwdx
$- \frac{24.0 x^{2} \left(1.0 x^{3} + 1\right)}{\left(0.5 x^{6} + x^{3}\right)^{3}}$

함수 w를 x에 관해 정리한 후 미분한 결과입니다.

w2=w.subs(v, v1).subs(u, u1)
w2
$\frac{4.0}{\left(0.5 x^{6} + x^{3}\right)^{2}}$

dw2dx=diff(w2, x)
dw2dx
$\frac{4.0 \left(- 6.0 x^{5} - 6 x^{2}\right)}{\left(0.5 x^{6} + x^{3}\right)^{3}}$

CalculusEasyMade_CH4

4_1

다음 함수의 $\frac{dx}{dy}$와 f''()를 계산하세요.

y = 17x + 12x²

x=symbols('x')
y = 17*x + 12*x**2
dydx=diff(y, x)
dy2dx=diff(dydx, x)
dy2dx
24

dy2dx=diff(y, x, 2)
dy2dx
24

$y =\frac{x^2 + a}{x + a}$

a, x=symbols('a x')
y = (x**2+a)/(x+a)
dy2dx=diff(y, x, 2)
simplify(dy2dx)
$\frac{2 \left(a + x^{2} - 2 x \left(a + x\right) + \left(a + x\right)^{2}\right)}{\left(a + x\right)^{3}}$

$y=1+x+a\frac{x2}{1⋅2}+ a\frac{x^3}{1⋅2⋅3}+a\frac{x^4}{1⋅2⋅3⋅4}$

a, x=symbols('a x')
y = 1+x+a*x**2/(1*2)+a*x**3/(1*2*3)+a*x**4/(1*2*3*4)
dy2dx=diff(y, x, 2)
dy2dx
$a \left(\frac{x^{2}}{2} + x + 1\right)$

4_3

공간 s에서 t초의 자유낙하 물체의 경로는 식 s=16t²에 대해 t=2, 4.6, 0.01에서의 속도?

t=symbols('t')
S= 16*t**2
dSdt=diff(S, t)
dSdt
32t

[N(dSdt.subs(t, i),5) for i in [2, 4.6, 0.01]]
[64.000, 147.20, 0.32000]

4_6

바퀴에 의해 회전된 각도 (radian)는 다음 식과 같이 경과된 시간(t)와 연결되어 있습니다. $1\frac{1}{2}$초가 경과된 후에 바취의 각속도(radian/second)를 계산하세요. 각 가속도를 계산하세요.
θ = 2.1 − 3.2t + 4.8t²

t=symbols('t')
th=2.1-3.2*t+4.8*t**2
v=diff(th, t)
v
9.6t−3.2

acc=diff(th, t, 2)
acc
9.6

4_8

풍선은 시간(t)에 따라 상승하는 높이(h)는 다음 식을 따릅니다. 상승 최초 10분 동안 속도와 가속도 그리고 높이의 변화를 그리시오.
$h=0.5+\frac{1}{10}\sqrt[3]{t-125}$

t=symbols('t')
h=0.5+(t-125)**Rational('1/3')/10
v=diff(h, t)
v
$\frac{1}{30 \left(t - 125\right)^{\frac{2}{3}}}$

acc=diff(h, t, 2)
acc
$- \frac{1}{45 \left(t - 125\right)^{\frac{5}{3}}}$

re=pd.DataFrame([])
for i in range(0, 11):
re.loc[i,0]=N(h.subs(t, i*60),5)
re.loc[i,1]=N(v.subs(t, i*60),5)
re.loc[i,2]=N(acc.subs(t, i*60),5)
re.columns=["h","V", "acc"]
re

	h	V	acc
0	0.75 + 0.43301*I	-0.00066667 - 0.0011547*I	-3.5556e-6 - 6.1584e-6*I
1	0.70104  + 0.34821*I	-0.001031  - 0.0017857*I	-1.0574e-5 - 1.8315e-5*I
2	0.5855 + 0.14809*I	-0.0056999 - 0.0098726*I	-0.00075999 - 0.0013163*I
3	0.88029	0.0023048	-2.7937e-5
4	0.98629	0.0014095	-8.1713e-6
5	1.0593	0.0010654	-4.0587e-6
6	1.1171	0.00087532	-2.4832e-6
7	1.1657	0.00075220	-1.6999e-6
8	1.2081	0.00066485	-1.2486e-6
9	1.2459	0.00059912	-9.6244e-7
10	1.2802	0.00054754	-7.6848e-7

4_9

수면에 던져진 돌이 시간 t 초후에 물속으로 낙하하는 길이 p 사이의 다음관계가 성립합니다. 속도와 가속도를 계산하세요. 그리고 10초 후의 속도와 가속도를 계산하세요.
$p=\frac{4}{4+t^2}+0.8t-1$

t=symbols('t', real=True)
p=4/(4+t**2)+0.8*t-1
v=diff(p, t)
v
$- \frac{8 t}{\left(t^{2} + 4\right)^{2}} + 0.8$

acc=diff(p, t, 2)
acc
$\frac{8 \left(\frac{4 t^{2}}{t^{2} + 4} - 1\right)}{\left(t^{2} + 4\right)^{2}}$

v10=v.subs(t, 10)
N(v10, 5)
0.7926

acc10=acc.subs(t, 10)
N(acc10, 5)
0.0021051

4_10

공간에서 시간(t)에 대한 물체의 이동거리(s) 관계는 다음과 같습니다.
s=tⁿ n은 상수입니다.
5초 후의 속도는 10초 후에 두배가 되는 경우 n을 찾으세요. 그 값은 10초후의 속도와 가속도의 수치가 같은 경우에도 계산됩니다.

n, t=symbols('n t', real=True)
s=t**n
v=diff(s, t)
v
$\frac{n t^{n}}{t}$

acc=diff(s, t, 2)
acc
$\frac{n t^{n} \left(n - 1\right)}{t^{2}}$

v5=v.subs(t, 5)
v10=v.subs(t, 10)
Eq(v5,2*v10)
$\frac{5^{n} n}{5} = \frac{10^{n} n}{5}$

solve(Eq(2*v5,v10), n)
[0, 2]

acc10=acc.subs(t, 10)
acc10
$\frac{10^{n} n \left(n - 1\right)}{100}$

v5.subs(n, 2)
10

v10.subs(n, 2)
20

acc10.subs(n, 2)
2

CalculusEasyMade_CH3

3_5

다음 식의 미분계수를 발견하시오.

$a)\qquad y=\frac{2x+3}{3x+2}$

x=symbols('x')
y=(2*x+3)/(3*x+2)
simplify(diff(y, x))
$- \frac{5}{\left(3 x + 2\right)^{2}}$

(diff(2*x+3, x)*(3*x+2)-(2*x+3)*diff(3*x+2))/(3*x+2)**2
$- \frac{5}{\left(3 x + 2\right)^{2}}$

$b)\qquad y=\frac{1 + x + 2x^2 + 3x^3}{1 + x + 2x^2}$

x=symbols('x')
y=(1+x+2*x**2+3*x**3)/(1+x+2*x**2)
simplify(diff(y, x))
$\frac{x^{2} \left(6 x^{2} + 6 x + 9\right)}{4 x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 1}$

$ c)\qquad y=\frac{ax + b}{cx + d}$

$d)\qquad y=\frac{x^n + b}{x^{-n} + d}$

3_6

백열전구의 필라멘트 온도 t일 때 다름 관계식에 따라 전류(C)가 연결됩니다.
C = a + bt + c²
온도의 변화에 따른 전류의 변화를 나타내시오.

a,b, c, t=symbols('a b c t')
C=a+b*t+c*t**2
simplify(diff(C, t))
b+2ct

3_7

다음 함수의 $\frac{dR}{dt}$?

$R=\frac{R_0}{1+at+at^2}$
$\frac{dR}{dt}=\frac{R_0^\prime(1+at+at^2)-R_0(1+at+at^2)^\prime}{(1+at+at^2)^2}$

a,b, R0, t=symbols('a b R0 t')
R=R0/(1+a*t+b*t**2)
simplify(diff(R, t))
$- \frac{R_{0} \left(a + 2 b t\right)}{\left(a t + b t^{2} + 1\right)^{2}}$

3_8

함수 E에서 15,20, 25에서의 온도당 기전력(E)의 변화?

E = 1.4340[1 - 0.000814(t - 15) + 0.000007(t - 15)²]volts

t=symbols('t')
E=1.4340*(1-0.000814*(t-15)+0.000007*(t-15)**2)
dEdt=diff(E,t)
[N(dEdt.subs(t, i),5) for i in [15, 20, 25]]
[-0.0011673, -0.0010669, -0.00096652]

3_9

함수 E에 대해 a, b, c, k는 상수이고 l은 길이, i는 전류 강도

$E=a+bl+\frac{c+kl}{i}$

(a) 아크의 길이에 대한 기전력의 변화와

(b)전류 강도에 관한 기전력의 변화를 나타내시오.

a,b,c,k,l,i=symbols('a,b,c,k,l,i')
E=a+b*l+(c+k*l)/i
dEdl=diff(E,l)
dEdl
$b + \frac{k}{i}$

dEdi=diff(E,i)
dEdi
$- \frac{c + k l}{i^{2}}$