CalculusEasyMade_CH7

7_1

다음 함수들의 극대와 극소?

(1) $y=\frac{x^2}{x+1}$

x=symbols('x', real=True)
y=x**2/(x+1)
dydx=diff(y, x)
dydx
$- \frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x + 1}$

m_x=solve(dydx, x)
m_x
[-2, 0]

print("x: y, dydx")
for i in [-3, -2, -1, 0, 1]:
 print(f"{i}: {y.subs(x, i)}, {dydx.subs(x, i)}")
x: y, dydx
-3: -9/2, 3/4
-2: -4, 0
-1: zoo, nan
0: 0, 0
1: 1/2, 3/4

위 결과에 의하면 x=-2에서 극대값 -4, x=0에서 극소값 0

(2) $y=\frac{x}{a^2+x^2}$

7_2

다음 식의 곡선을 그리고 미분계수를 계산합니다. 또한 극소값을 발견하세요.
$y=\frac{10}{x}+\frac{10}{8-x}$

x=symbols('x', real=True)
y=10/x+10/(8-x)
y
$\frac{10}{8 - x} + \frac{10}{x}$

dydx=(diff(y, x))
dydx
$\frac{10}{\left(8 - x\right)^{2}} - \frac{10}{x^{2}}$

m=solve(dydx, x)
m
[4]

for i in [3, 4, 5]:
 print(y.subs(x, i))
16/3
   5
   16/3

x=4에서 극소값 5

7_3

y = x⁵ - 5x의 극소값을 계산하세요.

x=symbols('x', real=True)
y=x**5-5*x
y
x⁵ - 5x

dydx=(diff(y, x))
dydx
5x⁴−5

m=solve(dydx, x)
m
[-1, 1]
for i in [-2, -1, 0, 1, 2]:
 print(i, y.subs(x, i))
-2 -22
   -1 4
   0 0
   1 -4
   2 22

x=-1에서 극대, x=1에서 극소이므로 극소값은 -4입니다.

7_4

원뿔 내에 바닥 반경(R)과 같은 높이(h)의 실린더에서 (a) 부피가 최대인 경우높이와 반경이 같은 원뿔내에 생성되는 실린더의 다음의 경우를 계산하세요. (a) 부피가 최대인 경우, (b)측면의 면적이 최대인 경우 (c)총면적이 최대인 경우

다음 그림은 원뿔내의 실린더에 대한 단면이며 실린더 밑면의 반경(x)은 0<x < R이며 높이(y)는 다음 식으로 계산할 수 있습니다. 

y=x+R

그러므로 실린더의 부피(V)와 측면면적(s) 그리고 총면적(A)은 다음과 같습니다.
$\begin{align}V&=\pi x^2 (R-x)\\S&=2x(R-x)\\A&=2\pi x^2+2x(R-x)\end{align}$

(a)최대부피(V)?

R,x=symbols('R x', real=True)
v=pi*x**2*(R-x)
v
$\pi x^{2} \left(R - x\right)$/span>
dvdx=(diff(v, x))
dvdx
$- \pi x^{2} + 2 \pi x \left(R - x\right)$
m=solve(dvdx, x)
m
[0, 2*R/3]

실린더 밑면의 반지름이 원 뿔의 반지름의 $\frac{2}{3}$일 경우 최대부피

(b)측면의 면적(s)이 최대?

s=2*x*(R-x)
dsdx=diff(s, x)
dsdx
2R-4x
solve(dsdx, x)
[R/2]

실린더 밑면의 반지름이 원 뿔의 반지름의 $\frac{1}{2}$일 경우 측면의 최대면적

(b)총 면적(A)이 최대?

A=2*pi*x**2+2*x*(R-x)
A
$2 \pi x^{2} + 2 x \left(R - x\right)$
dAdx=diff(A, x)
dAdx
$2 R - 4 x + 4 \pi x$
solve(dAdx, x)
[R/(2*(1 - pi))]
N(2*(1 - pi), 3)
−4.28

위 함수의 극점은 음수이므로 총면적의 극대, 극소는 존재하지 않습니다.

7_5

구형 풍선의 부피가 증가하고 있습니다. 반지름이 r cm 일 때 부피가 초당 4 cm³의 속도로 증가한다면 표면은 어느 정도 증가할까요?

$\begin{align}V&=\frac{4}{3}\pi r^3\\S&=\pi r^2 \end{align}$
초당 부피의 변화가 일어나므로 반지름 r을 시간 t의 함수로 작성하여야 합니다. sympy에서 함수의 정의는 Function(' ')(변수)로 실행됩니다. 다음 코드에서 t를 변수로 r을 변수 t에 대한 함수로 정의하였습니다.

t=symbols('t', real=True)
r=Function('r')(t)
v=Rational('4/3')*pi*r**3
v
$\frac{4 \pi r^{3}{\left(t \right)}}{3}$

dvdr=diff(v, t)
dvdr
$4 \pi r^{2}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} r{\left(t \right)}$

위의 미분 결과 중에서 $\frac{d}{d t} r{\left(t \right)}$는 r.diff(t)와 같습니다. 즉, 함수 r을 변수 t로 미분함을 의미합니다. 위의 시간에 따른 부피의 변화율(미분)은 4이므로 다음과 같이 계산하여 r.diff(t)를 얻습니다.

sol=solve(Eq(dvdr, 4), r.diff(t))
sol
[1/(pi*r(t)**2)]

sol[0]
$\frac{1}{\pi r^{2}{\left(t \right)}}$

r.diff(t)를 시간에 따른 면적의 변화율(미분)에 대입합니다.

S=4*pi*r**2
dsdt=diff(S, t)
dsdt
$ 8 \pi r{\left(t \right)} \frac{d}{d t} r{\left(t \right)}$

dsdt.subs(r.diff(t), sol[0])
$\frac{8}{r(t)}$

위의 마지막 결과가 부피의 변화율에 따른 면적의 변화율을 나타냅니다.

7_6

주어진 구체에 원뿔이 포함한다면 부피가 최대인 경우를 계산하시오.

원뿔의 부피는 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$으로 계산 할 수 있습니다.
다음 그림은 구 내에 생성된 원 뿔을 나타낸 것으로 구의 반지름 R을 사용하여 원뿔의 반지름 r을 유도할 수 있습니다.

$r^2=R^2-(h-R)^2$

h, R=symbols('h R', positve=True)
r=(R**2-(h-R)**2)**Rational("1/2")
r
$\sqrt{R^{2} - \left(- R + h\right)^{2}}$

V=Rational('1/3')*pi*r**2*h
V
$\frac{\pi h \left(R^{2} - \left(- R + h\right)^{2}\right)}{3}$

dVdh=V.diff(h)
dVdh
$\frac{\pi h \left(2 R - 2 h\right)}{3} + \frac{\pi \left(R^{2} - \left(- R + h\right)^{2}\right)}{3}$

sol=solve(dVdh, h)
sol
[0, 4*R/3]

re=r.subs(h, 4*R/3)
re
$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{R^{2}}}{3}$

7_7

N 개의 유사한 볼타 전지의 배터리에 의해 주어진 전류 C는 다음과 같습니다.
$C=\frac{nE}{R+\frac{rn^2}{N}}$

E, R, r은 상수이고 n은 직렬로 연결된 셀의 수입니다.
전류가 최대일 경우 N과 n의 비율을 계산하시오.

n, N, E,r, R=symbols('n N E r R', positve=True)
C=n*E/(R+r*n**2/N)
dCdn=C.diff(n)
dCdn
$\frac{E}{R + \frac{n^{2} r}{N}} - \frac{2 E n^{2} r}{N \left(R + \frac{n^{2} r}{N}\right)^{2}}$

sol=solve(dCdn, n)
sol
[-(N**2*R**2/r**2)**(1/4), (N**2*R**2/r**2)**(1/4)]

n은 갯수이므로 양수입니다. 그러므로 위 결과 중 두 번째 값입니다.

Eq(sol[1], n)
$\sqrt[4]{\frac{N^{2} R^{2}}{r^{2}}} = n$