CalculusEasyMade_CH13

13_1(1)

$\frac{2}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+\cdots$

tot=2/3
init=3
for i in range(10):
 tot = tot+1/(init)
 init= init*2
tot
1.3326822916666667

tot=2/3
init=3
for i in range(30):
 tot = tot+1/(init)
 init= init*2
tot
1.3333333327124517

tot=2/3
init=3
for i in range(100):
 tot = tot+1/(init)
 init= init*2
tot
1.3333333333333333

13_2

2. 함수 log_e(1+x)가 다음과 같다면 log_e1.3을 계산하세요.
$log_e(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+ \cdots$

tot=0.3
for i in range(2, 10):
 tot = tot+(-1)**(i-1)*0.3**i/i
tot
0.2623647286071428

log(1.3)
0.262364264467491

3_3

(1)

x=symbols('x', real=True)
y=integrate(Rational('1/4')*x)
y
$\frac{x^{2}}{8}$

$\frac{x^{2}}{8}+c$

(2)

y=integrate(cos(x), x)
y
sin(x)

sin(x)+c

(3)

y=integrate(2*x+3)
y
x²+3x

x²+3x+c

(4)

a, b, c, x=symbols('a b c x', real=True)
y=integrate(a*x/2+b*x**2/3+c*x**3/4, x)
y
$\frac{a x^{2}}{4} + \frac{b x^{3}}{9} + \frac{c x^{4}}{16}$

$\frac{a x^{2}}{4} + \frac{b x^{3}}{9} + \frac{c x^{4}}{16}+c$

13_4

(5)

다음 함수는 분수 형태로서 분모에 적분 변수를 포함하고 있습니다. 이러한 경우 분모를 간단히 하기 위해 분모 u=x+a로 치환하여 함수를 수정한 후에 적분할 수 있습니다. 이러한 치환적분에 의한 결과는 함수를 직접 계산한 결과와 상수항에 차이를 보입니다. 그러나 부정적분의 경우 최종 결과에 임의의 상수를 고려해주며 그 상수는 적분 계산에 영향을 주지 않으므로 무시할 수 있습니다.

a, x=symbols('a x', real=True)
y=(x**2+a)/(x+a)
integrate(y, x)
$- a x + a \left(a + 1\right) \log{\left(a + x \right)} + \frac{x^{2}}{2}$
u=symbols('u', real=True)
#u=x+a
y1=y.subs(x, u-a)
y1
$\frac{a + \left(- a + u\right)^{2}}{u}$
int_u=integrate(y1, u)
int_u
$- 2 a u + a \left(a + 1\right) \log{\left(u \right)} + \frac{u^{2}}{2}$
int_u.subs(u, x+a)
$a \left(a + 1\right) \log{\left(a + x \right)} - 2 a \left(a + x\right) + \frac{\left(a + x\right)^{2}}{2}$

(9)

th=symbols('theta', real=True)
y=(sin(th)-Rational('1/2'))*Rational('1/3')
integrate(y, th)
$- \frac{\theta}{6} - \frac{\cos{\left(\theta \right)}}{3}$

y1=Rational('1/3')*sin(th)-Rational('1/3')*Rational('1/2')
y1
$\frac{\sin{\left(\theta \right)}}{3} - \frac{1}{6}$

integrate(y1, th)
$ - \frac{\theta}{6} - \frac{\cos{\left(\theta \right)}}{3}$

(13)

3x=u로 치환하여 적분할 수 있습니다. 다음과 같이 동일한 결과를 보입니다.

x=symbols('x', real=True)
y=exp(3*x)
integrate(y, x)
$\frac{e^{3 x}}{3}$

u=symbols('u', real=True)
#u=3x
dx=diff(u/3, u)
dx
$frac{1}{3}$

integrate(exp(u)*dx, u).subs(u, 3*x)
$\frac{e^{3 x}}{3}$

(15)

x=symbols('x', real=True)
y=1/(1-x)
integrate(y, x)
−log(x−1)

u=symbols('u', real=True)
#u=1-x
dx=diff(1-u, u)
dx
−1

integrate((1/u)*dx, u).subs(u, 1-x)
−log(1−x)