CalculusEasyMade_CH14

14_1

x=symbols("x")
y=x**2+x-5
integrate(y, (x, 0, 6))
60

밑면이 6이고 면적이 10이므로 평균 높이(세로축)은 다음과 같습니다.

$\frac{60}{6}=10$

14_2

a, x=symbols("a, x")
y=2*a*sqrt(x)
Ar_Int=integrate(y, (x, 0, a))
Ar_Int
$\frac{4 a^{\frac{5}{2}}}{3}$
Ar_sq=a*y.subs(x, a)
Ar_sq
$2a^{\frac{5}{2}}$
Ar_Int/Ar_sq
$\frac{2}{3}$

14_3

x>0와 세로축(y), 함수 sin(x)으로 둘러쌓인 부분의 x는 [0, $\frac{\pi}{2}$]의 범위입니다. 그러므로 이 부분에서 함수에 의한 면적은 다음과 같이 함수의 정적분으로 계산할 수 있습니다.

a, x=symbols("a, x")
y=sin(x)
Ar_Int=integrate(y, (x, 0, pi/2))
Ar_Int
1

지정한 총부분은 밑면의 길이가 $\frac{\pi}{2}$, 높이가 1인 사각형이므로 이 면적은 다음과 같습니다.

Ar_sq=1*pi/2
Ar_sq
$\frac{\pi}{2}$

그러므로 지정한 면적은 사각형의 면적에서 함수에 의한 면적을 제외합니다.

Area=Ar_sq-Ar_Int
Area
$\frac{\pi}{2}-1$

14_4

x축 [0, 1]의 구간에서
면적 = ($x^2+x^{\frac{5}{2}}$에 의한 적분 − $x^2)-(x^{\frac{5}{2}}$에 의한 적분)

x=symbols("x")
y1=x**2+x**(5/2)
y2=x**2-x**(5/2)
A=integrate(y1, (x, 0, 1))-integrate(y2, (x, 0, 1))
A
0.571428571428571

14_5

다음 그림은 $y=-\frac{h}{r}x+h$의 직선을 y축을 기준으로 회전시킨 결과로 원뿔이 생성됩니다. 이 경우 x값이 원의 반지름이 되고 y값이 높이가 됩니다.

x축의 값 즉, r이 원의 반지름이 되며 생성되는 r에 따라 생성되는 원을 높이 h까지 쌓아 올린 형태가 됩니다. 그러므로 이 원 뿔의 부피는 $\pir^2$을 [0, h]구간에서의 정적분의 결과가 됩니다. 위의 그림과 같이 회전을 위한 직선의 방정식을 x에 관해 정리하는 것으로 시작합니다. 

x, y, r, h=symbols("x y r h")
eq1=y
eq2=-(h/r)*x+h
eq3=Eq(eq1,eq2)
eq3
$y = h - \frac{h x}{r}$
eq4=solve(eq3, x)
eq4
[r*(h - y)/h]
integrate(eq4[0]**2*pi, (y, 0, h))
$\frac{\pi h r^{2}}{3}$

14_6

다음 그래프와 같이 구간 [0,1]사이에 함수의 y=0인 지점이 포함됩니다. 그러므로 이 구간의 면적은 A, B 구간으로 구분하여 적분합니다.

x=symbols("x")
y=x**3+log(x)
y0=solve(y, x)
y0
[exp(-LambertW(3)/3)]
p=N(y0[0])
p
0.704709490254913
A=integrate(y, (x, 0, p))
A
−0.889679680800965
B=integrate(y, (x, p, 1))
B
0.139679680800965
Area=abs(A)+B
Area
1.02935936160193

14_7

다음 그림과 같이 함수 y를 x축을 중심으로 회전하는 경우 반지름 y인 원이 생성됩니다. 그 회전체의 표면적으로 구하기 위해 그 원의 원주를 [0, 4] 구간으로 정적분 합니다.

x=symbols("x")
y=sqrt(1+x**2)
A=2*pi*y
SA=integrate(A, (x, 0, 4))
SA
$2 \pi \left(\frac{\operatorname{asinh}{\left(4 \right)}}{2} + 2 \sqrt{17}\right)$
N(SA, 3)
58.4

14_8

x=symbols('x', real=True)
y=3.42*exp(0.21*x)
A=integrate(y, (x, 2, 8))
A
62.5956804810544

14_9

$y=\pm \frac{x}{6}\sqrt{x(10-x)}$
위 함수의 경우 제곱근내의 수는 양수이어야 합니다. 그러므로 다음과 같이 x의 범위가 지정됩니다.
$\sqrt{x(10-x)}\ge 0 \rightarrow 0 ≤ x ≤ 10$
이 조건의 곡선의 그래프는 다음과 같으며 이 곡선을 x축을 기준으로 회전시키는 경우 1사분면 또는 4사분면에 위치한 곡선중 하나만을 고려합니다.

이 곡선을 회전시킨 결과는 다음 그래프와 같습니다.

x=symbols('x', real=True)
solve(sqrt(x*(10-x))≥0, x)
0 ≤ x ∧ x ≤10 #
y=x/6*sqrt(x*(10-x))
V1=integrate(pi*y**2, (x, 0, 10))
V1
$\frac{1250 \pi}{9}$
y2=-x/6*sqrt(x*(10-x))
V2=integrate(pi*y**2, (x, 0, 10))
V2
$\frac{1250 \pi}{9}$
N(V1, 5)
436.33