CalculusEasyMade_CH4

4_1

다음 함수의 $\frac{dx}{dy}$와 f''()를 계산하세요.

y = 17x + 12x²

x=symbols('x')
y = 17*x + 12*x**2
dydx=diff(y, x)
dy2dx=diff(dydx, x)
dy2dx
24

dy2dx=diff(y, x, 2)
dy2dx
24

$y =\frac{x^2 + a}{x + a}$

a, x=symbols('a x')
y = (x**2+a)/(x+a)
dy2dx=diff(y, x, 2)
simplify(dy2dx)
$\frac{2 \left(a + x^{2} - 2 x \left(a + x\right) + \left(a + x\right)^{2}\right)}{\left(a + x\right)^{3}}$

$y=1+x+a\frac{x2}{1⋅2}+ a\frac{x^3}{1⋅2⋅3}+a\frac{x^4}{1⋅2⋅3⋅4}$

a, x=symbols('a x')
y = 1+x+a*x**2/(1*2)+a*x**3/(1*2*3)+a*x**4/(1*2*3*4)
dy2dx=diff(y, x, 2)
dy2dx
$a \left(\frac{x^{2}}{2} + x + 1\right)$

4_3

공간 s에서 t초의 자유낙하 물체의 경로는 식 s=16t²에 대해 t=2, 4.6, 0.01에서의 속도?

t=symbols('t')
S= 16*t**2
dSdt=diff(S, t)
dSdt
32t

[N(dSdt.subs(t, i),5) for i in [2, 4.6, 0.01]]
[64.000, 147.20, 0.32000]

4_6

바퀴에 의해 회전된 각도 (radian)는 다음 식과 같이 경과된 시간(t)와 연결되어 있습니다. $1\frac{1}{2}$초가 경과된 후에 바취의 각속도(radian/second)를 계산하세요. 각 가속도를 계산하세요.
θ = 2.1 − 3.2t + 4.8t²

t=symbols('t')
th=2.1-3.2*t+4.8*t**2
v=diff(th, t)
v
9.6t−3.2

acc=diff(th, t, 2)
acc
9.6

4_8

풍선은 시간(t)에 따라 상승하는 높이(h)는 다음 식을 따릅니다. 상승 최초 10분 동안 속도와 가속도 그리고 높이의 변화를 그리시오.
$h=0.5+\frac{1}{10}\sqrt[3]{t-125}$

t=symbols('t')
h=0.5+(t-125)**Rational('1/3')/10
v=diff(h, t)
v
$\frac{1}{30 \left(t - 125\right)^{\frac{2}{3}}}$

acc=diff(h, t, 2)
acc
$- \frac{1}{45 \left(t - 125\right)^{\frac{5}{3}}}$

re=pd.DataFrame([])
for i in range(0, 11):
re.loc[i,0]=N(h.subs(t, i*60),5)
re.loc[i,1]=N(v.subs(t, i*60),5)
re.loc[i,2]=N(acc.subs(t, i*60),5)
re.columns=["h","V", "acc"]
re

	h	V	acc
0	0.75 + 0.43301*I	-0.00066667 - 0.0011547*I	-3.5556e-6 - 6.1584e-6*I
1	0.70104  + 0.34821*I	-0.001031  - 0.0017857*I	-1.0574e-5 - 1.8315e-5*I
2	0.5855 + 0.14809*I	-0.0056999 - 0.0098726*I	-0.00075999 - 0.0013163*I
3	0.88029	0.0023048	-2.7937e-5
4	0.98629	0.0014095	-8.1713e-6
5	1.0593	0.0010654	-4.0587e-6
6	1.1171	0.00087532	-2.4832e-6
7	1.1657	0.00075220	-1.6999e-6
8	1.2081	0.00066485	-1.2486e-6
9	1.2459	0.00059912	-9.6244e-7
10	1.2802	0.00054754	-7.6848e-7

4_9

수면에 던져진 돌이 시간 t 초후에 물속으로 낙하하는 길이 p 사이의 다음관계가 성립합니다. 속도와 가속도를 계산하세요. 그리고 10초 후의 속도와 가속도를 계산하세요.
$p=\frac{4}{4+t^2}+0.8t-1$

t=symbols('t', real=True)
p=4/(4+t**2)+0.8*t-1
v=diff(p, t)
v
$- \frac{8 t}{\left(t^{2} + 4\right)^{2}} + 0.8$

acc=diff(p, t, 2)
acc
$\frac{8 \left(\frac{4 t^{2}}{t^{2} + 4} - 1\right)}{\left(t^{2} + 4\right)^{2}}$

v10=v.subs(t, 10)
N(v10, 5)
0.7926

acc10=acc.subs(t, 10)
N(acc10, 5)
0.0021051

4_10

공간에서 시간(t)에 대한 물체의 이동거리(s) 관계는 다음과 같습니다.
s=tⁿ n은 상수입니다.
5초 후의 속도는 10초 후에 두배가 되는 경우 n을 찾으세요. 그 값은 10초후의 속도와 가속도의 수치가 같은 경우에도 계산됩니다.

n, t=symbols('n t', real=True)
s=t**n
v=diff(s, t)
v
$\frac{n t^{n}}{t}$

acc=diff(s, t, 2)
acc
$\frac{n t^{n} \left(n - 1\right)}{t^{2}}$

v5=v.subs(t, 5)
v10=v.subs(t, 10)
Eq(v5,2*v10)
$\frac{5^{n} n}{5} = \frac{10^{n} n}{5}$

solve(Eq(2*v5,v10), n)
[0, 2]

acc10=acc.subs(t, 10)
acc10
$\frac{10^{n} n \left(n - 1\right)}{100}$

v5.subs(n, 2)
10

v10.subs(n, 2)
20

acc10.subs(n, 2)
2