Calculas Easy Made_CH11

11-2

a.$y=ASin(\theta-\frac{\pi}{2})$

A, th=symbols("A theta")
y=A*sin(th-pi/2)
y
−Acos(𝜃)

dydth=y.diff(th)
dydth
Asin(𝜃)

b.$y=sin^2(\theta)$

y=sin(th)**2
y.diff(th)
2sin(𝜃)cos(𝜃)

c.$y=sin(2\theta)$

y=sin(2*th)
y.diff(th)
2cos(2𝜃)

d.$y=sin^3(\theta)$

y=sin(th)**3
y.diff(th)
3sin2(𝜃)cos(𝜃)

e.$y=sin(3\theta)$

y=sin(3*th)
y.diff(th)
3cos(3𝜃)

11-2

sin(θ)·cos(θ)가 극대가 되는 θ를 발견하시오.

theta=symbols('theta')
y=sin(theta)*cos(theta)
dy=diff(y, theta)
dy
−sin2(θ)+cos2(θ)

m=solve(dy)
m
[-3*pi/4, -pi/4, pi/4, 3*pi/4]

ddy=diff(y, theta, 2)
ddy
−4sin(θ)cos(θ)

sign={}
for i in sol:
 sign[i]=dy2dth.subs(th, i)
sign
{-3*pi/4: -2, -pi/4: 2, pi/4: -2, 3*pi/4: 2}

print(f'최대값: {y.subs(th, pi/4)}')
최대값: 1/2

print(f'최소값: {y.subs(th, 3*pi/4)}')
최소값: -1/2

11-3

n, t=symbols("n t")
y=cos(2*pi*n*t)/(2*pi)
y
$\frac{\cos{\left(2 \pi n t \right)}}{2 \pi}$

y.diff(t)
$- n \sin{\left(2 \pi n t \right)}$

11-4

# 4
a, x=symbols("a, x")
y=sin(a**x)
y
sin(a^x)

y.diff(x)
a^xlog(a)cos(a^x)

11-5

x=symbols("x")
y=log(cos(x))
y
log(cos(x))

y.diff(x)
$−\frac{sin(x)}{cos(x)}

u=symbols('u')
u1=cos(x)
v=log(u)
dudx=u1.diff(x)
dudx
−sin(x)

dvdu=v.diff(u)
dvdu
$\frac{1}{u}$

dvdu=dvdu.subs(u, u1)
dvdu
$\frac{1}{cos(x)}$

dvdx=dvdu*dudx
dvdx
$−\frac{sin(x)}{cos(x)}$

11-6

x=symbols('x')
y=18.2*sin(x+26)
y
18.2sin(x+26)
y.diff(x)
18.2cos(x+26)

11-7

y = 100sin(θ − 15°)의 그래프를 작성하고 θ=75°에서 최대 기울기의 절반임을 보이시오.

sympy 등 python에서 사용되는 삼각함수에 관련된 대부분의 함수는 각도(degree)가 아닌 라디안(radian)이 적용됩니다. 그러므로 이 문제의 각도를 라디안으로 전환하여야 합니다.

a, b=np.deg2rad(15), np.deg2rad(75)
a, b
(0.2617993877991494, 1.3089969389957472)

th=symbols('theta')
y=100*sin(th-a)
y
100sin(θ−0.261799387799149)

#문제는 그래프의 기울기에 대한 것이므로 sl이 기준이 됩니다.
sl=y.diff(th)
sl
100cos(θ−0.261799387799149)

sol=solve(sl.diff(th), th)
sol
[0.261799387799149, 3.40339204138894]

dsl2dth=sl.diff(th, 2)
sign={}
val={}
for i in sol:
 sign[i]=dsl2dth.subs(th, i)
 val[i]=sl.subs(th, i)
sign
{0.261799387799149: -100.000000000000, 3.40339204138894: 100.000000000000}

val
{0.261799387799149: 100.000000000000, 3.40339204138894: -100.000000000000}

sl.subs(th, b)#75도에서의 기울기: 최대 100의 반
50.0

11-8

th=symbols('theta')
y=sin(th)*cos(2*th)
y
sin(θ)cos(2θ)

y.diff(th)
−2sin(θ)sin(2θ)+cos(θ)cos(2θ)

11-9

a, m, n, th=symbols('a m n theta')
y=a*tan(th**n)**m
y
$a \tan^{m}{\left(\theta^{n} \right)}$
y.diff(th)
$\frac{a m n \theta^{n} \left(\tan^{2}{\left(\theta^{n} \right)} + 1\right) \tan^{m}{\left(\theta^{n} \right)}}{\theta \tan{\left(\theta^{n} \right)}}$

11_11

a

a, b, x=symbols("a b x", real=True)
y=a*x/(x+b)
y
$\frac{a x}{b + x}$
dydx=y.diff(x)
dydx
$- \frac{a x}{\left(b + x\right)^{2}} + \frac{a}{b + x}$

simplify(dydx)
$\frac{ab}{(b+x)^2}$

위 미분계수의 형태에서 알 수 있듯이 0가 되는 극점은 존재하지 않습니다. 그러므로 극대값, 극소값은 존재하지 않으며 x=30에서의 미분계수는 다음과 같습니다.

solve(dydx, x)
[]
simplify(dydx.subs(x, 30))
$\frac{a b}{\left(b + 30\right)^{2}}$

b

a, b, x=symbols("a b x", real=True)
y=a*(1-exp(-x/b))
y
𝑎(1−𝑒−𝑥𝑏)

dydx=y.diff(x)
dydx
𝑎𝑒−𝑥𝑏𝑏

solve(dydx, x)
[]
dydx.subs(x, 30)
𝑎𝑒−30𝑏𝑏

c

a, b, x=symbols("a b x", real=True)
y=a/90*atan(b/x)
y
$\frac{a \operatorname{atan}{\left(\frac{b}{x} \right)}}{90}$
dydx=y.diff(x)
dydx
$- \frac{a b}{90 x^{2} \left(\frac{b^{2}}{x^{2}} + 1\right)}$
solve(dydx, x)
[]
dydx.subs(x, 30)
$- \frac{a b}{81000 \left(\frac{b^{2}}{900} + 1\right)}$

15

th=symbols("theta", Real=True)
y=th*cos(th)
y
$\theta \cos{\left(\theta \right)}$
dydth=y.diff(th)
dydth
$- \theta \sin{\left(\theta \right)} + \cos{\left(\theta \right)}$
sol=solveset(dydth, th, Interval(-pi, pi))
sol
$\left\{\theta \mid \theta \in \left[- \pi, \pi\right] \wedge - \theta \sin{\left(\theta \right)} + \cos{\left(\theta \right)} = 0 \right\}$

위 결과로부터 미분계수가 0이되는 조건은 $cot(\theta)=\theta$ 입니다. 다음은 이 식과 미분 식의 그래프입니다.