6_1
다음 함수의 그래프를 작성하세요. 곡선 위의 몇 개의 좌표를 측정하세요. 방정식을 미분하여 기울기에 대한 표현식을 찾으십시오. 측정한 좌표에서의 접선의 기울기를 계산하세요.
y=Rational('4/3')*x**2-5
dydx=diff(y, x)
dydx
8x3
(1, f(1))에 접선의 기울기는 다음과 같습니다.
2.667
위 결과를 그래프로 그리면 다음과 같습니다.
6_3
y = (x − a)(x − b)에서 다음을 보이세요.
y=(x-a)*(x-b)
dydx=diff(y, x)
dydx
−a-b+2x
dydx.subs(x, (a+b)/2)
0
6_5
x2 + y2 = 4인 곡선에서 기울기가 1이 되는 지점의 x?
원의 방정식은 음함수이며 이를 양함수 형태로 나타내면 다음과 같이 두 함수로 나타낼 수 있습니다.
eq=x**2+y**2-4
y_eq=solve(eq, y)
y_eq
[-sqrt(4 - x**2), sqrt(4 - x**2)]
즉, 1,2사분면의 반원과 3, 4분면의 반원으로 구분되며 각각을 g(x), f(x)로 구분하여 각각의 미분계수와 그 미분계수=1인 지점의 x를 계산하면 다음과 같습니다.
dfdx=diff(f, x)
dfdx
$\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$
solve(Eq(dfdx, 1), x)
[$\sqrt{2}$]
g=y_eq[1]
dgdx=diff(g, x)
dgdx
$- \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$
solve(Eq(dgdx, 1), x)
[$-\sqrt{2}$]
6_6
다음 식의 기울기를 나타내고 x = 0, 1에서의 기울기의 값을 구하세요.
$\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$
음함수의 미분은 sympy 라이브러리의 idiff() 함수를 적용합니다.
eq=x**2/3**2+y**2/2**2-1
eq
$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} - 1$
dydx=idiff(eq, y, x)
dydx
$- \frac{4 x}{9 y}$
x=0, 1에 대응하는 y 값을 결정합니다.
y0
[-2, 2]
y1=solve(eq.subs(x, 1), y)
y1
[-4*sqrt(2)/3, 4*sqrt(2)/3]
위에서 결정한 (x, y) 죄표에서의 접선의 기울기를 계산합니다.
dydx0=[dydx.subs({x:0, y:i}) for i in y0]
dydx0
[0, 0]
#x=1
dydx1=[dydx.subs({x:1, y:i}) for i in y1]
dydx1
[sqrt(2)/6, -sqrt(2)/6]
6_7
y = 5 − 2x + 0.5x3의 접선의 방정식이 g(x) = mx + n 이라면 x = 2인 지점에서의 m과 n을 발견하세요.(m, n은 상수)
y=5-2*x+0.5*x**3
dydx=diff(y, x)
dydx
1.5x2−2
y2=y.subs(x, 2)
y2
5.0
m=dydx.subs(x, 2)
m
4.0
#접선의 식 g=mx+n
Eq(m*2+n, y2)
n+8.0=5.0
n1=solve(Eq(m*2+n, y2), n)
n1
[-3.00000000000000]
g=m*x+n1[0]
g
4.0x−3.0
6_8
두 곡선 f=y = 3.5x2 + 2 및 g=y = x2 − 5x + 9.5는 어떤 각도에서 서로를 절단합니까?
다음의 결과와 같이 두 곡선은 두 지점에서 교차됩니다.
f=3.5*x**2+2
g=x**2-5*x+9.5
x_cross=solve(Eq(f, g), x)
x_cross
[-3.00000000000000, 1.00000000000000]
각 교차점에서의 f, g의 접선 기울기
slope_f=[dfdx.subs(x,i) for i in x_cross]
slope_f
[-21.0000000000000, 7.00000000000000]
dgdx=diff(g, x)
slope_g=[dgdx.subs(x,i) for i in x_cross]
slope_g
[-11.0000000000000, -3.00000000000000]
접선 기울기는 x축과의 tan값을 나타냅니다. 다음과 같이 tan 역함수를 적용하여 $/theta$를 계산할 수 있습니다.
$tan(\theta)=a \rightarrow \theta=tan^{-1}(a)$
sympy 함수 atan() 함수를 위 계산에 적용할 수 있습니다. sympy 모듈등 대부분의 python에서 제공하는 삼각함수들은 radian 값을 계산합니다. 그러므로 deg() 함수로 각도로 전환합니다. 또한 다음의 결과와 같이 음(negative)의 각도는 시계방향의 각도를 의미합니다. 그러나 표준적으로 각도는 반시계방향으로 나타냅니다. 그러므로 그 값은 180-|값|으로 전처리 후 계산합니다.
sf_deg
[-87.27, 81.87]
sg_deg=[N(deg(atan(i)), 4) for i in slope_g]
sg_deg
[-84.81, -71.57]
deg_gap=[]
for i in range(2):
a, b=sf_deg[i], sg_deg[i]
if a<0:
a=180-abs(a)
if b<0:
b=180-abs(b)
deg_gap.append(abs(a-b))
deg_gap
[2.468, 26.56]
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