CalculusEasyMade_CH8

8_1

다음 식의 극대값과 극소값?

y = x³ + x² - 10x + 8

x=symbols('x', positve=True)
y=x**3+x**2-10*x+8
dydx=y.diff(x)
dydx
3x²+2x−10

sol=solve(dydx, x)
sol
[-1/3 + sqrt(31)/3, -sqrt(31)/3 - 1/3]

dy2dx=y.diff(x, 2)
dy2dx
2(3x+1)

re=[]
for i in sol:
 re.append(dy2dx.subs(x, i))
re
[2*sqrt(31), -2*sqrt(31)]

극소값은 $x=-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{31}}{3}$, 극대값은 $x=-\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{31}}{3}$의 y의 값입니다.

mn={}
idx=['minimum','maximum']
for i in range(len(sol)):
 mn[idx[i]]=N(y.subs(x, sol[i]),4)
mn
{'minimum': -1.378, 'maximum': 24.19}

8_2

다음 함수 y의 ^dy/_dx와 ^d2y/_dx²와 극대값과 극소값을 계산하세요.
$y=\frac{b}{a}x-cx^2$

a, b, c, x=symbols('a b c x', positve=True)
y=b/a*x-c*x**2
dydx=y.diff(x)
dydx
$- 2 c x + \frac{b}{a}$
sol=solve(dydx, x)
sol
[b/(2*a*c)]
dy2dx=y.diff(x, 2)
dy2dx
−2c
max=y.subs(x, sol[0])
max
$\frac{b^{2}}{4 a^{2} c}$

위 계산과정에서 2차 미분계수는 음(negative)입니다. 그러므로 1차미분계수=0인 지점의 y 값은 극대값입니다.

8_3(6)

$y=\pm\frac{x}{6}\sqrt{x(10-x)}$의 극대와 극소값?

x=symbols('x', real=True)
y1=x/6*sqrt(x*(10-x))
y2=-x/6*sqrt(x*(10-x))
y1
$\frac{x \sqrt{x \left(10 - x\right)}}{6}$

y2
$-\frac{x \sqrt{x \left(10 - x\right)}}{6}$

dydx_1=y1.diff(x)
dydx_1
$\frac{\sqrt{x \left(10 - x\right)} \left(5 - x\right)}{6 \left(10 - x\right)} + \frac{\sqrt{x \left(10 - x\right)}}{6}$

sol1=solve(dydx_1, x)
sol1
[0, 15/2]

[y1.diff(x, 2).subs(x, i) for i in sol1]
[nan, -sqrt(3)/3]

y1.subs(x, sol1[1]).evalf(3)
5.41

2차 미분계수가 음수이므로 극값은 극대값

dydx_2=y2.diff(x)
dydx_2
$ - \frac{\sqrt{x \left(10 - x\right)} \left(5 - x\right)}{6 \left(10 - x\right)} - \frac{\sqrt{x \left(10 - x\right)}}{6}$
sol2=solve(dydx_2, x)
sol2
[0, 15/2]
[y2.diff(x, 2).subs(x, i) for i in sol2]
[nan, sqrt(3)/3]
y2.subs(x, sol2[1]).evalf(3)
−5.41

2차 미분계수가 양수이므로 극값은 극소값. 이 결과는 위 식에 대해 작성한 다음 그래프에서 확인됩니다.

8_4

4. 발전기의 출력 x에 대해 효율 y는 다음 방정식에 의해 표현됩니다.

y =	x
	a + bx + cx2

여기서 a는 주로 철의 에너지 손실에 따라 달라지는 상수이고 c는 주로 구리 부품의 저항에 따라 달라지는 상수입니다.효율성이 최대가 될 출력 값에 대한 표현식을 찾으십시오.

a, b, c, x=symbols('a b c x', real=True)
y=x/(a+b*x+c*x**2)
dydx=y.diff(x)
dydx
$\frac{x \left(- b - 2 c x\right)}{\left(a + b x + c x^{2}\right)^{2}} + \frac{1}{a + b x + c x^{2}}$
sol=solve(dydx, x)
sol
[-sqrt(a/c), sqrt(a/c)]

결과적으로 최대 효율을 위해 관계되는 식은 $\sqrt{\frac{a}{c}}$입니다.