3-1
(a)
A=Matrix([[1,2,4,4,-7], [0,1,1,2,-3],[1,0,2,0,-1]])
A.rref()
(Matrix([[1, 0, 2, 0, -1],
[0, 1, 1, 2, -3],
[0, 0, 0, 0, 0]]),
(0, 1))
(b) 이 rref로부터 선도변수가 2개, 3개의 자유변수가 존재함을 알 수 있습니다. 그러므로 위 결과를 정리하면 다음과 같습니다. 즉, x1, x2는 자유변수 x3, x4에 따라 다양한 해를 가집니다. 즉, 자명하지 않은 해를 가지므로 선형 종속입니다.
$\begin{align}x_1&=-2x_3+1\\x_2&=-x_3-2x_4+3\end{align}$
(c)위 시스템이 자명한 해를 갖는 선형독립이기 위해서는 자유변수로 이루어진 방정식이 선형독립인 경우입니다. 다음과 같이 이 식은 선형독립이며 $x_3=-\frac{1}{2}$와 $x_4=-\frac{4}{5}$인 경우 선형독립이 됩니다.
B=Matrix([[-2, 0, -1], [-1, -2, -3]])
B.rref()
(Matrix([[1, 0, 1/2],
[0, 1, 5/4]]),
(0, 1))
3-2
x1,x2,x3,x4=symbols('x:4')
A=Matrix([[1,1,2,-1],[1,3,-1,2],[1,1,1,3],[1,2,1,1]])
x=Matrix([[x1],[x2],[x3],[x4]])
A*x
$\left[\begin{matrix}x_{0} + x_{1} + 2 x_{2} - x_{3}\\x_{0} + 3 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3}\\x_{0} + x_{1} + x_{2} + 3 x_{3}\\x_{0} + 2 x_{1} + x_{2} + x_{3}\end{matrix}\right]$
b=Matrix([[0],[0],[0],[0]])
Au_a=A.row_join(b)
Au_a
$ \left[\begin{matrix}1 & 1 & 2 & -1 & 0\\1 & 3 & -1 & 2 & 0\\1 & 1 & 1 & 3 & 0\\1 & 2 & 1 & 1 & 0\end{matrix}\right]$
Au_a.rref()
(Matrix([[1, 0, 0, 0, 0],
[0, 1, 0, 0, 0],
[0, 0, 1, 0, 0],
[0, 0, 0, 1, 0]]),
(0, 1, 2, 3))
B=Matrix([[1,2,3],[0,1,0],[1,0,3]])
x=Matrix([[x1],[x2],[x3]])
B*x
$\left[\begin{matrix}x_{0} + 2 x_{1} + 3 x_{2}\\x_{1}\\x_{0} + 3 x_{2}\end{matrix}\right]$
c=Matrix([[0],[0],[0]])
Au_b=B.row_join(c)
Au_b
$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 3 & 0\end{matrix}\right]$
Au_b.rref()
(Matrix([[1, 0, 3, 0],
[0, 1, 0, 0],
[0, 0, 0, 0]]),
(0, 1))
C=Matrix([[1,2,-1],[2,-1,3],[5,-4,3]])
x=Matrix([[x1],[x2],[x3]])
C*x
$\left[\begin{matrix}x_{0} + 2 x_{1} - x_{2}\\2 x_{0} - x_{1} + 3 x_{2}\\5 x_{0} - 4 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right]$
c=Matrix([[0],[0],[0]])
Au_c=C.row_join(c)
Au_c
$\left[\begin{matrix}1 & 2 & -1 & 0\\2 & -1 & 3 & 0\\5 & -4 & 3 & 0\end{matrix}\right]$
Au_c.rref()
(Matrix([[1, 0, 0, 0],
[0, 1, 0, 0],
[0, 0, 1, 0]]),
(0, 1, 2))
3-7
a=symbols('a')
A=Matrix([[1,1,1],[2,3,2],[2,3,a**2-5]])
b=Matrix([[2],[3],[a]])
solve(A.det())
[-sqrt(7), sqrt(7)]
aug=A.row_join(b)
print(aug)
Matrix([[1, 1, 1, 2],
[2, 3, 2, 3],
[2, 3, a**2 - 5, a]])
aug.rref()
(Matrix([[1, 0, 0, (3*a**2 - a - 18)/(a**2 - 7)],
[0, 1, 0, -1],
[0, 0, 1, (a - 3)/(a**2 - 7)]]),
(0, 1, 2))
solve(3*a**2 - a - 18)
[1/6 - sqrt(217)/6, 1/6 + sqrt(217)/6]
3-9
다음 선형시스템의 해의 수를 결정
$\begin{align}x+2y-3z&=4\\4x+y+2z&=6\\x+2y+(a^2-19)z&=a\end{align}$
a=symbols("a", real=True)
A=Matrix([[1, 2, -3],[4, 1, 2],[1, 2, a**2-19]])
C=Matrix(3,1,[4, 6, a])
A
$\left[\begin{matrix}1 & 2 & -3\\4 & 1 & 2\\1 & 2 & a^{2} - 19\end{matrix}\right]$
au=A.row_join(C)
au
$\left[\begin{matrix}1 & 2 & -3\\4 & 1 & 2\\1 & 2 & a^{2} - 19\end{matrix}\right]$
au.rref()[0]
$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & \frac{k \left(- k \left(k + 2\right) - 4 k - 5\right) - \left(k + 2\right) \left(k \left(k + 2\right) - k \left(4 k + 4\right) + 1\right)}{- k \left(k + 2\right) - 4 k - 5}\\0 & 1 & 0 & \frac{- k \left(k + 2\right) + k \left(4 k + 4\right) + k \left(- k \left(k + 2\right) - 4 k - 5\right) - 1}{- k \left(k + 2\right) - 4 k - 5}\\0 & 0 & 1 & \frac{k \left(k + 2\right) - k \left(4 k + 4\right) + 1}{- k \left(k + 2\right) - 4 k - 5}\end{matrix}\right]$
solve(112 - 7*a**2, a)
[-4, 4]
sol=au.rref()[0][:,3]
sol
$\left[\begin{matrix}\frac{- 8 a^{2} + 7 a + 100}{112 - 7 a^{2}}\\\frac{- 10 a^{2} - 14 a + 216}{112 - 7 a^{2}}\\\frac{a - 4}{a^{2} - 16}\end{matrix}\right]$
sol.subs(a, 4)
$\left[\begin{matrix}\text{NaN}\\\text{NaN}\\\text{NaN}\end{matrix}\right]$
sol.subs(a, -4)
$\left[\begin{matrix}\tilde{\infty}\\\tilde{\infty}\\\tilde{\infty}\end{matrix}\right]$
- a = 4 인 경우 해가 없음
- a = -4 인 경우 무한히 많은 해가 존재
- $a \neq \pm 4$인 경우 단일한 해 존재
3_10
u=Matrix([[5],[10]])
v=Matrix([[3], [11]])
w=Matrix([[-1],[-12]])
au=(u.row_join(v)).row_join(w)
au
$\left[\begin{matrix}5 & 3 & -1\\10 & 11 & -12\end{matrix}\right]$
latex(au.rref())
$\left( \left[\begin{matrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & -2\end{matrix}\right], \ \left( 0, \ 1\right)\right)$
벡터 u, v, w의 선형결합은 선형독립입니다. 즉, u, v는 w의 기저.
a=False
b=True
