미적분 이야기_CH1

1

1.  x=1에서 f(x)=x²의 접선의 기울기를 추정하기 위해
(a)(1,1), (2,4)를 통과하는 외선의 기울기?
(b)(1,1), (3/2, 9/4)를 통과하는 외선의 기울기?
(c)x=1에서의 접선의 기울기는 어떤 외선의 기울기에 근접할까요.

x=symbols('x')
f=x**2
f
x²
#(a)
a_slope=(1-4)/(1-2)
a_slope
3.0
#(b)
b_slope=(1-9/4)/(1-3/2)
b_slope
2.5
#(c)
limit(f, x, 1)
1

2

시간(t)에 따른 거리에 대한 식 s(t)=-16t²+64로부터 t=0.5초에서의 순간속도?

x, h=symbols('x, h')
f=-16*x**2+64
f2=(f.subs(x, x+h)-f)/h
f2
$\frac{16 x^{2} - 16 \left(h + x\right)^{2}}{h}$

v_avg=limit(f2, h, 0)
v_avg
−32x

v_avg.subs(x, 0.5)
−16.0

6

다음 극한의 연속 또는 불연속을 결정하세요?
(1)$\lim\limits_{x \to 2} \large \frac{x-3}{x(x-2)}$

x, h=symbols('x, h')
f=(x-3)/(x*(x-1))
f
$\frac{x - 3}{x \left(x - 1\right)}$
limit(f, x, 1, "-")
∞
limit(f, x, 1, "+")
−∞

(2)$\lim\limits_{x \to 1} \large \frac{x+3}{(x-1)^2}$

x, h=symbols('x, h')
f=(x+2)/(x-1)**2
f
$\frac{x + 2}{\left(x - 1\right)^{2}}$
limit(f, x, 1, "-")
∞
limit(f, x, 1, "+")
∞

(3)$\frac{x-1}{x^2+2x}=\frac{x-1}{x(x+2)}$
x=-2, 0에서 분모가 0이 됩니다. 그러므로 $(-\infty, -2)\; \cup \;(2, 0)\; \cup \;(0, \infty)$구간에서 연속

7

다음 극한을 계산하세요?
극한 계산에서 함수들은 가장 간단한 형태로 전환후에 실시합니다.

(1)$\lim\limits_{x \to 3} \large \frac{x^2-3x}{x^2-5x-3}$

x=symbols('x')
f=(x**2-3*x)/(2*x**2-5*x-3)
f
$\frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 5 x - 3}$
f1=simplify(f)
f1
$\frac{x}{2 x + 1}$
limit(f1, x, 3)
$\frac{3}{7}$
limit(f, x, 3)
$\frac{3}{7}$

(2)$\lim\limits_{ x \to -1} \large \frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1}$

$ \begin{matrix}\frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1}&=\frac{(\sqrt{x + 2} -1)(\sqrt{x + 2} +1)}{(x + 1)(\sqrt{x + 2} +1)}\\&=\frac{x+2-1}{(x + 1)(\sqrt{x + 2} +1)}\\&=\frac{1}{\sqrt{x + 2} +1}\end{matrix}$

$\lim\limits_{x \to -1} \large \frac{1}{\sqrt{x + 2} +1}=\frac{1}{2}$

x=symbols('x')
f=(sqrt(x+2)-1)/(x+1)
limit(f, x, -1)
$\frac{1}{2}$

(3)$\lim\limits_{ x \to 5} \large \frac{\sqrt{x - 1} - 2}{x - 5}$

$ \begin{matrix}\frac{\sqrt{x - 1} - 2}{x - 5}& =\frac{(\sqrt{x - 1} -2)(\sqrt{x - 1} +2)}{(x-5)(\sqrt{x- 1}+2)}\\ &=\frac{x-1-4}{(x -5)(\sqrt{x-1} +2)}\\ &=\frac{1}{\sqrt{x-1} +2}\end{matrix}$

$\lim\limits_{x \to 5} \large \frac{1}{\sqrt{x-1} +2}=\frac{1}{4}$

x=symbols('x')
f=(sqrt(x-1)-2)/(x-5) limit(f, x, 5)
$\frac{1}{4}$

(4)$\lim\limits_{ x \to 1} \large \frac{\frac{1}{x + 1}-\frac{1}{2}}{x - 1}$

$ \begin{matrix}\frac{\frac{1}{x + 1}-\frac{1}{2}}{x - 1}&=\frac{\frac{-(x-1)}{2(x+1)}}{x-1}\\&=\frac{-(x-1)}{2(x+1)(x-1)}\\&=\frac{-1}{2(x+1)}\end{matrix}$

$\lim\limits_{x \to 1} \large -\frac{1}{2(x+1)}=-\frac{1}{4}$

x=symbols('x')
f=(1/(x+1) -1/2)/(x-1)
limit(f, x, 1)
$−\frac{1}{4}$

8

다음 함수의 점근선을 결정하세요?

(1)$\frac{3x-1}{2x+5}$

$\begin{align}\lim\limits_{x \to \infty}\frac{3-\frac{1}{x}}{2+\frac{5}{x}}=\frac{3}{2}\\ \lim\limits_{x \to -\infty}\frac{3-\frac{1}{x}}{2+\frac{5}{x}}=\frac{3}{2}\end{align}$

(2)$\frac{3x^2-2x}{4x^3-5x+7}$

$\begin{align}\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}}{4-\frac{5}{x^2}+\frac{7}{x^3}}=0\\\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}}{4-\frac{5}{x^2}+\frac{7}{x^3}}=0\end{align}$

9

다음을 계산하세요?

$(1) \lim\limits_{x \to 0} x^2 cos\left(\frac{1}{x}\right)$
$t=\frac{1}{x},\quad x \rightarrow 0 \Rightarrow t \rightarrow \infty$
$\begin{align}\lim\limits_{x \to 0} x^2 cos\left(\frac{1}{x}\right)&=\lim\limits_{t \to \infty}\frac{1}{t^2}cos(t)\\&=0\end{align}$

x=symbols('x')
f=x**2*cos(1/x)
limit(f, x, 0)
0

$(2)\quad\begin{align}\lim\limits_{x \to 0} \frac{tan(x)}{x}&=\lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{x} \frac{sin(x)}{cos(x)}\\&=\lim\limits_{x \to 0}\frac{sin(x)}{x}\lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{cos(x)}\\&=1\end{align}$

x=symbols('x')
f=tan(x)/x
limit(f, x, 0)
1

$(3)\quad\lim\limits_{x \to \infty} xsin\left(\frac{1}{x}\right)$
$\frac{1}{x}=t, \quad x \to \infty \Rightarrow t \to 0$
$\begin{align}\lim\limits_{x \to \infty} xsin\left(\frac{1}{x}\right)&=\lim\limits_{t \to 0}\frac{sin(t)}{t}\\&=1\end{align}$

x=symbols('x')
f=x*sin(1/x)
limit(f, x, oo)
1

$(4)\quad\begin{align}\lim\limits_{x \to 0}\frac{x+2sin(x)}{sin(x)cos(x)}&=\lim\limits_{x \to 0}\frac{x}{sin(x)cos(x)}+\lim\limits_{x \to 0}\frac{2sin(x)}{sin(x)cos(x)}\\ &=\lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{\frac{sin(x)}{x}}\lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{cos(x)}+\lim\limits_{x \to 0}\frac{2}{cos(x)}\\ &=1 \cdot 1+ 2\\&=3\end{align}$

x=symbols('x')
f=(x+2*sin(x))/(sin(x)*cos(x))
limit(f, x, 0)
3

9

다음을 계산하세요?

$(1) \lim\limits_{x \to 0} x^2 cos\left(\frac{1}{x}\right)$
$t=\frac{1}{x},\quad x \rightarrow 0 \Rightarrow t \rightarrow \infty$
$\begin{align}\lim\limits_{x \to 0} x^2 cos\left(\frac{1}{x}\right)&=\lim\limits_{t \to \infty}\frac{1}{t^2}cos(t)\\&=0\end{align}$

x=symbols('x')
f=x**2*cos(1/x)
limit(f, x, 0)
0

$(2)\quad\begin{align}\lim\limits_{x \to 0} \frac{tan(x)}{x}&=\lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{x} \frac{sin(x)}{cos(x)}\\&=\lim\limits_{x \to 0}\frac{sin(x)}{x}\lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{cos(x)}\\&=1\end{align}$

x=symbols('x')
f=tan(x)/x
limit(f, x, 0)
1

$(3)\quad\lim\limits_{x \to \infty} xsin\left(\frac{1}{x}\right)$
$\frac{1}{x}=t, \quad x \to \infty \Rightarrow t \to 0$
$\begin{align}\lim\limits_{x \to \infty} xsin\left(\frac{1}{x}\right)&=\lim\limits_{t \to 0}\frac{sin(t)}{t}\\&=1\end{align}$

x=symbols('x')
f=x*sin(1/x)
limit(f, x, oo)
1

$(4)\quad\begin{align}\lim\limits_{x \to 0}\frac{x+2sin(x)}{sin(x)cos(x)}&=\lim\limits_{x \to 0}\frac{x}{sin(x)cos(x)}+\lim\limits_{x \to 0}\frac{2sin(x)}{sin(x)cos(x)}\\ &=\lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{\frac{sin(x)}{x}}\lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{cos(x)}+\lim\limits_{x \to 0}\frac{2}{cos(x)}\\ &=1 \cdot 1+ 2\\&=3\end{align}$

x=symbols('x')
f=(x+2*sin(x))/(sin(x)*cos(x))
limit(f, x, 0)
3

10

다음을 계산하세요?

$(1)\lim\limits_{n \to \infty} \large n \cdot ln\left(1+\frac{x}{n}\right)$

$u=\frac{x}{n}, \quad n \to \infty \Rightarrow u \to 0$
$\begin{align}\lim\limits_{n \to \infty} \large n \cdot \left(1+\frac{x}{n}\right)&=\lim\limits_{u \to 0} \frac{x}{u} \cdot ln(1+u)\\&=x\lim\limits_{u \to 0} ln(1+u)^{\frac{1}{u}}\\&=x \end{align}$

n, x=symbols('n x')
f=n*ln(1+x/n)
limit(f, n, oo)
x

$(2)\begin{align}\lim\limits_{n \to \infty} \frac{2x-7}{\sqrt{9x^2+7x+2}}&=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{2-\frac{7}{x}}{\sqrt{9+\frac{7}{x}+\frac{2}{x^2}}}\\&=\frac{2}{3} \end{align}$

x=symbols('x')
f=(2*x-7)/(sqrt(9*x**2+7*x+2))
limit(f, x, oo)
$\frac{2}{3}$

(3) $\begin{align}\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 5 x + 9}- \sqrt{x^{2} - 4 x + 2} &=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{(x^{2} + 5 x + 9)-(x^{2} - 4 x + 2)}{\sqrt{x^{2} + 5 x + 9}+\sqrt{x^{2} - 4 x + 2}}\\&=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{ 9x + 7}{\sqrt{x^{2} + 5 x + 9}+\sqrt{x^{2} - 4 x + 2}}\\&=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{ 9 + \frac{7}{x}}{\sqrt{1 + \frac{5}{x} +\frac{9}{x^2}}+\sqrt{1 - \frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}}}\\&=\frac{9}{2}\end{align}$

x=symbols('x')
f=sqrt(x**2+5*x+9)-sqrt(x**2-4*x+2)
limit(f, x, oo)
$\frac{9}{2}$

선형대수코드_CH 7

1

행렬 A의 QR분해를 실행하세요?

A=np.array([[-3, -19, 3],[9, -7, 11], [-3, 9, 11], [0, 4, 32]])
print(A)
[[ -3 -19 3]
   [ 9 -7 11]
   [ -3 9 11]
   [ 0 4 32]]

Q,R=la.qr(A)
print(np.around(Q, 3))
[[-0.302 -0.898 -0.265]
   [ 0.905 -0.18 -0.193]
   [-0.302 0.359 -0.313]
   [ 0. 0.18 -0.891]]

print(np.around(R, 3))
[[ 9.95 -3.317 5.729]
   [ 0. 22.271 5.029]
   [ 0. 0. -34.884]]

print(np.dot(Q, R))
[[ -3. -19. 3.]
   [ 9. -7. 11.]
    [ -3. 9. 11.]
   [ 0. 4. 32.]]

2

다음 각 이차식에 대응하는 대칭행렬을 나타내십시요.

a. ℝ²의 이차식, $3x_1^2-4x_1x_2+5x_2^2$
$\left[\begin{matrix}3&-2\\-2&5\end{matrix}\right]$

b.ℝ²의 이차식, $3x_1^2+2x_1x_2$
$\left[\begin{matrix}3&1\\1&0\end{matrix}\right]$

c.ℝ³의 이차식, $3x_1^2+2x_1x_2$
$\left[\begin{matrix}3&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right]$

3

$7x_1^2+8x_1x_2+4x_1x_3+10x_2^2+5x_2x_3+8x_3^2$에 대응하는 대칭행렬을 나타내십시요. 이 식은 양의 정부호 입니까?

A=np.array([[7, 4, 2],[4, 10, 2.5],[2, 2.5, 8]])
print(A)
[[ 7. 4. 2. ]
   [ 4. 10. 2.5]
   [ 2. 2.5 8. ]]

la.eig(A)
(array([14.37376873, 4.20939986, 6.41683141]),
   array([[ 0.51711708, 0.83649609, -0.1812849 ],
      [ 0.72914595, -0.54145794, -0.41853253],
      [ 0.44825897, -0.08424717, 0.88992489]]))

위 식에 대응하는 대칭행렬의 고유값은 모두 양수입니다. 그러므로 위 식은 양의 정부호 입니다.

4

다음은 x^TAx가 y^TDy의 변환입니다. D를 발견하고 성립함을 보이세요.
$5 x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 6 x_{2}^{2} - 4 x_{2} x_{3} + 7 x_{3}^{2}=3.0 y_{1}^{2} + 6.0 y_{2}^{2} + 9.0 y_{3}^{2}$

x1,x2,x3=symbols("x1 x2 x3")
x=Matrix(3,1, [x1,x2,x3])
x
$\left[\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{matrix}\right]$
A=Matrix([[5,2,0],[2,6,-2],[0,-2,7]])

A
$\left[\begin{matrix}5 & 2 & 0\\2 & 6 & -2\\0 & -2 & 7\end{matrix}\right]$
simplify(x.T*A*x)

$\left[\begin{matrix}5 x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 6 x_{2}^{2} - 4 x_{2} x_{3} + 7 x_{3}^{2}\end{matrix}\right]$

d, p=la.eig(np.array(A, dtype=np.float64))
d
array([3., 6., 9.])
D=np.diag(d)
print(D)
[[3. 0. 0.]
   [0. 6. 0.]
   [0. 0. 9.]]

y1,y2,y3=symbols("y1 y2 y3")
y=Matrix(3,1,[y1,y2,y3])
y.T*Matrix(D)*y
$\left[\begin{matrix}3.0 y_{1}^{2} + 6.0 y_{2}^{2} + 9.0 y_{3}^{2}\end{matrix}\right]$

5

Q(x)에 대해 (a)x^Tx=1의 제한 조건에서 최대값을 계산하고 이 값들이 각각 Q(x)의 이차식 행렬 A의 최대 고유값과 같다는 것을 보이세요. (b)x^Tx=1와 x^Tu1=0의 제한 조건에서 최대값(u1은 최대 고유값에 대응하는 고유단위벡터)을 계산하세요.
$Q(x)=3 x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{2}^{2} + 4 x_{2} x_{3} + 2 x_{3}^{2}$

x1,x2,x3=symbols("x1 x2 x3")
x=Matrix(3,1, [x1,x2,x3])
x
$\left[\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{matrix}\right]$

A=Matrix([[3,1,0],[1,2,2],[0,2,2]])
A
$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 0\\1 & 2 & 2\\0 & 2 & 2\end{matrix}\right]$

xTAx=x.T*A*x
expand(xTAx[0])
$3 x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{2}^{2} + 4 x_{2} x_{3} + 2 x_{3}^{2}$

d, p=la.eig(np.array(A, dtype=np.float64))
d
array([-0.16424794, 2.77286556, 4.39138238])

print(p)
[[ 0.2260912 0.84604119 0.48280128]
   [-0.7154086 -0.19216509 0.6717612 ]
   [ 0.6611152 -0.49727948 0.56181831]]

u1=p[:,2]
la.norm(u1)
1.0

np.dot(np.dot(u1.T,np.array(A, dtype=np.float64)),u1)
4.391382380630901

u2=p[:,1]
u2
array([ 0.84604119, -0.19216509, -0.49727948])

np.dot(np.dot(u2.T,np.array(A, dtype=np.float64)),u2)
2.77286555782931

6

다음 행렬 A 의 특이값?
$A=\left[\begin{matrix}2&3\\0&2\end{matrix}\right]$

A=np.array([[2,3],[0,2]])
print(A)
[[2 3]    [0 2]]

AA=np.dot(A.T, A)
print(AA)
[[ 4 6]    [ 6 13]]

d, P=la.eig(AA)
print(d)
[ 1. 16.]

a=np.sqrt(d)
a
array([1., 4.])

특이값은 1, 4

7

다음 행렬 A의 특이값 분해에서 좌특이행렬, 특이값, Σ행렬, 우특이행렬을 계산하세요?
$A=\left[\begin{matrix}3 & -3\\0 & 0\\1 & 1\end{matrix}\right]$

A=np.array([[3, -3],[0,0],[1,1]])
AA=np.dot(A.T,A)
print(AA)
[[10, -8],
[-8, 10]]

d, V=la.eig(AA)
d
array([18., 2.])

특이값, 특이행렬, 우려특이행렬

s=np.sqrt(d)
s
array([4.24264069, 1.41421356])
print(V)
[[ 0.70710678 0.70710678]
   [-0.70710678 0.70710678]]

sMat=np.vstack([np.diag(s), np.array([0,0])])
print(sMat)
[[4.24264069 0. ]
   [0. 1.41421356]
   [0. 0. ]]

좌특이행렬

AV=np.dot(A, V)
print(AV)
[[ 4.24264069e+00 -8.88178420e-16]
   [ 0.00000000e+00 0.00000000e+00]
   [ 2.22044605e-16 1.41421356e+00]]

U1=AV/s
print(np.around(U1, 3))
[[ 1. -0.]    [ 0. 0.]    [ 0. 1.]]

U1은 3×3차원이 되어야 합니다. 그러나 위의 V로 부터의 산출한 U는 3×2차원이므로 각 열벡터와의 선형 결합 즉, U1^Tx=0가 선형독립이고 정규직교기저인 벡터를 첨가하여 U를 생성합니다.
$\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}\right]$
위 식의 해집합의 기저를 발견하기 위해 sympy의 nullspace()함수를 사용합니다.

u2=Matrix(U1.T).nullspace()
u2=np.array(u2, dtype=np.float64).reshape(3,1)
print(u2)
[[0.]
   [1.]
   [0.]]

결과를 U1에 첨가하면 3×3차원의 U가 생성됩니다.

U=np.hstack([U1, u2])
print(np.around(U, 3))
[[ 1. -0. 0.] [ 0. 0. 1.] [ 0. 1. 0.]]

확인

print(np.around(np.dot(np.dot(U,sMat),V.T),3))
[[ 3. 3.]
   [ 0. 0.]
   [-1. 1.]]

numpy.linalg.syd()함수를 사용하여 각 요소들을 계산

U,s,V=la.svd(A)
print(np.around(U, 3))
[[-1. -0. 0.]
   [ 0. 0. -1.]
   [ 0. -1. 0.]]
print(s)
[4.24264069 1.41421356]
print(V)
[[-0.70710678 0.70710678]
   [-0.70710678 -0.70710678]]